Anhang I
Mathematische Funktionen

In Kapitel 10 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator sowie in Kapitel 11 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom treten verschiedene aus der Mathematik bekannte Differentialgleichungen auf. An dieser Stelle fassen wir die Eigenschaften der Lösungen dieser Differentialgleichungen zusammen.

I.1 Hermite-Polynome

Die Hermite-Polynome Hn(x)  treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators auf (siehe Abschnitt 10.2.4) und sind nach (10.45) gegeben durch

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Eigenschaften

I.2 Legendre-Polynome

Die Legendre-Polynome Pl(x )  treten als Basis für die zugeordneten Legendre-Polynome (siehe Abschnitt I.3) auf und sind nach (11.34) gegeben durch

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Eigenschaften

I.3 Zugeordnete Legendre-Polynome

Die zugeordneten  ml
Pl  (x )  treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Polarkomponente Θl,ml(ϑ)  der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ )  des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.1) und sind nach (11.30) gegeben durch

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wobei Pl(x)  die Legendre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.2).

Eigenschaften

I.4 Laguerre-Polynome

Die Laguerre-Polynome Ln (x )  treten als Basis für die zugeordneten Laguerre-Polynome (siehe Abschnitt I.5) auf und sind gegeben durch

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Eigenschaften

I.5 Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten Laguerre-Polynome Lmn (x)  treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den radialen Anteil Rn,l(r)  der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ )  des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.3) und sind gegeben durch

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wobei Ln (x )  die Laguerre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.4).

Eigenschaften

I.6 Kugelfunktionen

Die Kugelfunktionen Y   (ϑ,φ)
 l,ml  treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den winkelabhängigen Anteil der Wellenfunktion un,l,ml(r,ϑ,φ)  des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.2) und sind nach (11.38) gegeben durch

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Eigenschaften