7 Das Atom

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Kapitel 7
Das Atom

Das Wort Atom kommt aus dem Griechischen und bedeutet unteilbar. Als Atom wird dementsprechend der kleinste unveränderliche Bestandteil eines chemischen Elements bezeichnet. In diesem Kapitel untersuchen wir charakteristische Eigenschaften, wie Masse und Grösse, von Atomen, betrachten die Kategorisierung der Atome im Rahmen des Periodensystems der Elemente, beleuchten die Untersuchungsmethode Massenspektroskopie und lernen das Rutherfordsche Atommodell kennen, welches Ernest Rutherford aufgrund seiner Streuversuche von $α$ -Teilchen an Atomen formulierte. Es dient insbesondere als Grundlage für das Bohrsche-Atommodell, das wir in Kapitel 8 besprechen werden.

7.1 Die Atommasse

Atommassen werden in sogenannten relativen Atommassen $Arel$ angegeben. Experimentell hat man festgestellt, dass alle Atome eine Masse haben, die ungefähr einem Vielfachen der Masse des Wasserstoffatoms entspricht. Deshalb wurde eine atomare Masseneinheit 1 u eingeführt, welche ungefähr der Masse eines Wasserstoffatoms entspricht. Dementsprechend wären zum Beispiel die relativen Atommassen $Arel$ für Stickstoff ( $N$ ) und Sauerstoff ( $O$ ) gegeben durch

Ab 1961 verwendete man aus experimentellen Gründen (präzisere Messungen von Atommassen) eine neue Definition der atomaren Masseneinheit

wobei 12 die Massenzahl $A$ und 6 die Kernladungszahl $Z$ bezeichnen. Auf die Bedeutung von Massenzahl $A$ und Kernladungszahl $Z$ wird in Abschnitt 7.3 näher eingegangen.

Den Zusammenhang zwischen den relativen und den absoluten Atommassen ergibt sich aus dem Begriff des Mols. 1 mol ist die Stoffmenge, welche so viel Gramm wiegt, wie das relative Atomgewicht $Arel$ angibt. Demzufolge ergibt sich zum Beispiel für die Masse von 1 mol Kohlenstoff $162$ C 12 g. Nach Lorenzo Avogadro ist die Zahl der Atome oder Moleküle einer Substanz, welche in 1 mol enthalten sind immer gleich. Die Zahl wird mit $N A$ bezeichnet und heisst Avogadro-Konstante. Entsprechend der Definition für die atomare Masseneinheit 1 u, wird die Avogadro-Konstante $NA$ als die Anzahl Kohlenstoffatome in 12 g $12 6$ C definiert. Sie ist gegeben durch

Damit ergibt sich für die absolute Atommasse $m$ einer Substanz

Wir gehen nun kurz auf einige experimentelle Methoden zur Bestimmung der Avogadro-Konstante ein:

Elektrolyse
Bei der Elektrolyse wird ein Strom durch eine Flüssigkeit geleitet. Dazu werden zwei Elektroden (Kathode und Anode) in die Flüssigkeit eingeführt. Aufgrund des Stroms wird an den Elektroden eine Stoffmenge abgelagert, welche proportional zur Ladung ist, die in derselben Zeit durch die Flüssigkeit geflossen ist. Aufgrund dieses Gesetzes (Faraday-Gesetz) lässt sich aus einer Messung der abgeschiedenen Masse $m$ , der Stromstärke $I$ und der Zeit $t$ die Avogadro-Konstante $N A$ bestimmen. Für eine einwertige Substanz gilt die Formel
Gas- und Boltzmann-Konstante
Zwischen der Gaskonstante $R$ , der Boltzmann-Konstante $kB$ und der Avo-gadro-Konstante $NA$ gilt der folgende Zusammenhang

Demzufolge lässt sich die Avogadro-Konstante $NA$ aus der Gas- und Boltz-mann-Konstante bestimmen.
Röntgen-Beugung
Wie in Abschnitt 3.4.2 besprochen, lässt sich mittels Röntgen-Licht bekannter Wellenlänge die Gitterkonstante $a$ bzw. das Volumen $VAtom$ eines Atoms bestimmen. Die Avogadro-Konstante $N A$ ergibt sich dann aus folgender Formel

wobei $M$ die Molmasse (entspricht bei Atomen dem relativen Atomgewicht $Arel$ ) und $ρ$ die Dichte bezeichnet.

7.2 Die Atomgrösse

Für die Bestimmung der Grösse von Atomen gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten. Weit verbreitet sind Streuexperimente, auf die wir als erstes näher eingehen werden.

7.2.1 Streuexperimente

Bei einem typischen Streuexperiment (siehe Abb. 7.1) trifft ein Teilchenstrahl (aus Atomen oder Molekülen) mit Dichte $N0$ , Strahlquerschnittsfläche $A$ und Teilchenradius $r1$ auf eine dünne Schicht der Dicke $dx$ von Atomen mit Radius $r2$ und Dichte $n$ . Die Frage die nun untersucht wird ist: Wie viele Teilchen aus dem Strahl stossen mit Atomen aus der dünnen Schicht zusammen? Oder in anderen Worten: Welcher Anteil der Teilchen aus dem einfallenden Strahl kann die Schicht nicht ungestört passieren?

Abb. 7.1: Schematischer Aufbau eines typischen Streuexperiments: Ein Teilchenstrahl mit Dichte $N0$ , Strahlquerschnittsfläche $A$ und Teilchenradius $r1$ trifft auf eine dünne Schicht der Dicke $dx$ von Atomen mit Radius $r2$ und Dichte $n$ .

Um diese Frage zu beantworten, führen wir eine neue Grösse ein, den Wirkungsquerschnitt. Der Wirkungsquerschnitt $σ$ ist eine Fläche, welche folgendermassen definiert ist: Begegnen sich einfallendes und ruhendes Teilchen innerhalb der Fläche $σ$ , so kommt es zum Zusammenstoss (zu einer Wechselwirkung), ansonsten nicht. Daher ist in unserem Fall der Wirkungsquerschnitt $σ$ gegeben durch (siehe Abb. 7.2)

Mit Hilfe des Wirkungsquerschnitts können wir nun die Wahrscheinlichkeit $W$ angeben, mit der ein einfallendes Teilchen innerhalb der Schicht einen Stoss erfährt. Sie ist gegeben durch die Anzahl der Fälle in denen ein Stoss auftritt geteilt durch die Gesamtzahl der Fälle

Dabei nehmen wir an, dass die Querschnittsflächen der Teilchen im durchschossenen Volumen nicht überlappen. Dies ist erfüllt, wenn die Dichte im betrachteten Volumen ausreichend gering ist.

Abb. 7.2: Illustration zur Berechnung des Wirkungsquerschnitts: Zusammenstoss zwischen einfallenden Teilchen mit Radius $r1$ und ruhendem Teilchen mit Radius $r2$ .

Wir gehen einen Schritt weiter indem wir eine Schicht der Länge $L$ (in Strahlrichtung) betrachten und die Anzahl der transmittierten Teilchen des einfallenden Teilchenstrahls bestimmen. Dabei gehen wir von der zuvor betrachteten Situation aus und zerlegen das Volumen in dünne Schichten der Dicke $dx$ . Treten in eine solche dünne Schicht $N$ Teilchen ein, so erleidet ein Bruchteil $dN = - W N$ einen Stoss und wird abgelenkt. Somit erhalten wir mit (7.10) für den Anteil der in der Schicht $dx$ gestreuten Teilchen

Den Anteil der transmittierten Atome auf der gesamten Länge $L$ erhalten wir durch Integration

Für die Zahl $N$ der transmittierten Teilchen ergibt sich

und für die Zahl der abgelenkten Teilchen erhalten wir

Das Produkt $nσ = α$ wird dabei als makroskopischer Streukoeffizient bezeichnet.

Um nun die Grösse eines Atoms zu bestimmen, geht man folgendermassen vor:

Man führt ein Streuexperiment durch und bestimmt die Anzahl der einfallenden Teilchen $N 0$ und der austretenden Teilchen $N$ , sowie die Teilchendichte $n$ und die Länge $L$ des Streukörpers.
Mit Hilfe von (7.13) bestimmt man aus den experimentell bestimmten Grössen $N0$ , $N$ , $n$ und $L$ den Wirkungsquerschnitt $σ$ .
Mit (7.9) erhält man die Summe der Radien der einfallenden Teilchen (Atome) und den Atomen des Streukörpers. Sind diese Atome identisch ( $r1 = r2 ≡ r$ ), so ergibt sich der Atomradius $r$ und somit die Grösse eines Atoms.

Atomgrössen werden experimentell oft nicht mittels dem Wirkungsquerschnitt $σ$ sondern mittels der mittleren freien Weglänge $ℓ$ bestimmt. Diese ist folgendermassen definiert: $ℓ$ ist die Strecke, nach der nur noch ein Anteil von $1∕e$ ( $~ 37%$ ) der eintreffenden Teilchen $N0$ nicht gestreut worden sind, d.h. es gilt

Daraus ergibt sich für die mittlere freie Weglänge $ℓ$ der folgende Ausdruck

Unter der Annahme von $r1 = r2 ≡ r$ erhalten wir

Würde man auch die Bewegung der gestossenen Teilchen, die wir bis jetzt vernachlässigt haben, berücksichtigen, so ändert sich die Form dieses Ausdrucks folgendermassen

Betrachtet man anstelle von Teilchen Licht, so gilt für dessen Intensität $I$ nach dem Durchgang durch eine absorbierende Schicht der Dicke $x$

Dieses Gesetz wird Beersches Gesetz genannt. Dabei entspricht $I$ der durchgehenden Lichtintensität, $I0$ der einfallenden Lichtintensität und $α$ der Absorptionskonstante der absorbierenden Schicht.

7.2.2 Weitere Methoden zur Bestimmung der Atomgrösse

Bestimmung der Atomgrösse aus dem Kovolumen
Ein reales Gas kann näherungsweise mit der Van der Waals-Gleichung¹ beschrieben werden

wobei $p$ der Druck, $V$ das Volumen, $R$ die Gaskonstante, $T$ die Temperatur und $a$ und $b$ zwei Konstanten sind, welche folgende Bedeutung haben: Aufgrund der kurzreichweitigen Abstossung zwischen den Atomen in einem Gas steht dem Gas nur das reduzierte Volumen $V - b$ zur Verfügung und wegen der langreichweitigen Abstossung ergibt sich ein zusätzlicher Druck $a ∕V2$ . Die Konstante $b$ lässt sich näherungsweise aus dem $pV$ -Diagramm bestimmen und entspricht dem vierfachen Wert des Volumens aller Atome in 1 mol

wobei $NA$ die Avogadro-Konstante ist. Daraus lässt sich das Atomvolumen bzw. den Atomradius bestimmen.
Bestimmung der Atomgrösse mittels Röntgen-Beugung
Der zweiten Methode sind wir schon ein paar Mal begegnet. Wie in Abschnitt 3.4.2 besprochen, lässt sich die Gitterkonstante - und damit auch eine Abschätzung der Atomgrösse - aus der Röntgen-Beugung (Bragg-Reflexion) gewinnen. Drei praktische Verfahren sind:
- Laue-Verfahren: Ein Einkristall² wird unter einem festen Einfallswinkel mit Röntgen-Licht, welches ein kontinuierliches Spektrum aufweist, bestrahlt. Die Bragg-Bedingung ist dann jeweils für bestimmte Wellenlängen erfüllt.
- Braggsches Drehkristall-Verfahren: Ein Einkristall wird mit monochromatischem³ Röntgen-Licht bestrahlt und dabei gleichzeitig gedreht. Die Bragg-Bedingung ist dann jeweils für bestimmte Einfallswinkel erfüllt.
- Debye-Scherrer-Verfahren: Eine polykristalline⁴ Probe wird unter einem festen Einfallswinkel mit monochromatischem Licht bestrahlt. Da in der polykristallinen Probe alle möglichen Orientierungen vorkommen, ergeben sich Ringe auf dem Beobachtungsschirm.

7.2.3 Abbildungstechniken

Bei der Besprechung einiger Abbildungstechniken soll die Frage im Zentrum stehen, ob es möglich ist atomare Abmessungen aufzulösen, d.h. einzelne Atome „zu sehen“. Der zentrale Begriff dabei ist das Auflösungsvermögen. Darunter versteht man den kleinsten Abstand $d$ zwischen Strukturen, die noch als getrennt abgebildet werden können. Bekannte Abbildungstechniken sind:

Lichtmikroskop. Das zu untersuchende Objekt wird durch verschiedene Linsen betrachtet. Das Auflösungsvermögen ist dabei durch die Wellenlänge des verwendeten Lichts begrenzt. Für sichtbares Licht erreicht man eine Auflösung von $d ~ 500$ nm und für Röntgen-Strahlung eine Auflösung von einigen 100 Å .
Elektronenmikroskop. Durch die Verwendung von Elektronen zur Abbildung von Strukturen lässt sich aufgrund der kleineren Wellenlänge im Vergleich zu Licht das Auflösungsvermögen verbessern. Man erreicht eine Auflösung von $d ~ 0.1$ nm, was erlaubt einzelne Atome räumlich aufzulösen.
Rastertunnelmikroskop (STM). Mit einem STM erreicht man ein ähnliches Auflösungsvermögen wie mit einem Elektronenmikroskop. Beim STM wird die Oberfläche einer Probe mit einer elektrisch leitenden Spitze abgerastert. Die Spitze ist jedoch nicht in direktem Kontakt mit der Oberfläche. Legt man eine kleine Spannung $V$ zwischen Spitze und Oberfläche an, so ist es möglich, dass Elektronen von der Spitze auf die Probe und umgekehrt gelangen können. Es fliesst daher ein Strom. Dieser Effekt wird Tunneleffekt genannt und der Strom wird dementsprechend Tunnelstrom genannt. Mit dieser Methode, die wir in einem späteren Kapitel genauer kennen lernen werden, erhält man eine Abbildung der elektronischen Struktur einer Oberfläche.
Ionenfalle. In einer Ionenfalle können einzelne Ionen eingefangen und einzeln untersucht werden. Die Ionen werden dabei durch elektromagnetische Felder in der Falle festgehalten. Mit dieser Methode ist es möglich einzelne einige Mikrometer auseinanderliegende Ionen abzubilden. Das Auflösungsvermögen ist optisch begrenzt und beträgt $d ~ 500$ nm.

In Tab. 7.1 sind die Auflösungsvermögen $d$ für die verschiedenen Abbildungstechniken zusammengefasst.


Abbildungstechnik	Auflösungsvermögen $d$ [nm]


Lichtmikroskop (sichtbares Licht)	$~$ 500
Lichtmikroskop (Röntgen-Licht)	einige 10
Elektronenmikroskop	$~ 0.1$
Rastertunnelmikroskop (STM)	$~$ 0.1
Ionenfalle	$~$ 500

Tab. 7.1: Auflösungsvermögen verschiedener Abbildungstechniken.

7.3 Das Periodensystem der Elemente

Das Periodensystem der Elemente (siehe Abb. 7.3) wurde von den beiden Chemikern Dmitri Iwanowitsch Mendelejew und Lothar Meyer im Jahr 1869 unabhängig voneinander aufgestellt und ist eine Anordnung der Atome nach ihren chemischen und physikalischen Eigenschaften.

Das Periodensystem besteht aus acht vertikalen Gruppen mit Nebengruppen und sieben horizontalen Perioden. Diese Einteilung kommt aufgrund der chemischen und physikalischen Eigenschaften der Atome zustande. Sie spiegelt insbesondere den Aufbau der Atome und die dabei geltenden Gesetzmässigkeiten wider.

Abb. 7.3: Das Periodensystem der Elemente. [8]

Die Atome werden mit einem Symbol abgekürzt, z.B. steht H für Wasserstoff, He für Helium, ... . Die Reihenfolge und Nummerierung der Atome kommt folgendermassen zustande: Wie wir in späteren Abschnitten sehen werden, sind Atome aus Elektronen, Protonen und Neutronen aufgebaut. Die Protonen und Neutronen bilden den Atomkern, der im Zentrum einer Elektronenwolke sitzt, die die Kernladung kompensiert. Ein Atom besteht aus gleich vielen Protonen und Elektronen. Im Periodensystem werden die Atome nun nach steigender Kernladungszahl $Z$ (auch Ordnungszahl genannt) aufgeführt. Sie ist oberhalb jedes Atoms aufgeführt und entspricht der Anzahl der Protonen und somit auch der Anzahl der Elektronen im Atom. Unterhalb jedes Atoms ist die relative Atommasse $Arel$ angegeben. In diesem Zusammenhang führen wir noch den Begriff der Massenzahl $A$ ein. Sie ist die der relativen Atommasse $Arel$ nächstgelegene ganze Zahl und entspricht der Summe der Anzahl Protonen und Neutronen, d.h. es gilt

wobei $N$ für die Anzahl der Neutronen steht.

Zum Abschluss dieses kurzen Überblicks ein paar Bemerkungen zum Begriff der Isotopie: Zwei Atome, welche gleiche Kernladungszahl $Z$ , aber unterschiedliche Massenzahl $A$ haben werden als Isotope bezeichnet. Der Unterschied in der Massenzahl $A$ kommt durch die unterschiedliche Anzahl Neutronen $N$ im Kern der Atome zustande. Dieses Phänomen wurde mittels der Massenspektroskopie entdeckt, die wir im nächsten Abschnitt besprechen werden.

7.4 Massenspektroskopie

Die Massenspektroskopie dient zur Trennung von Atomsorten, welche unterschiedliche Ladungs-Massenverhältnisse $q∕m$ aufweisen und wie im vorangehenden Abschnitt erwähnt, stand sie damit auch am Ursprung der Entdeckung der Isotopie.

7.4.1 Parabelmethode nach Joseph John Thomson

Die Parabelmethode ist eine der ersten Methoden der Massenspektroskopie. Sie wurde 1913 von Joseph John Thomson entwickelt. Bei der verwendeten Versuchsanordnung (siehe Abb. 7.4) wird ein Ionenstrahl bzw. ein Strahl geladener Teilchen mit unterschiedlichen Ladungs-Massenverhältnissen $q∕m$ durch ein elektrisches Feld $vecE$ eines Kondensators und einem dazu parallelen Magnetfeld $⃗ B$ räumlich getrennt. Auf dem Beobachtungsschirm ordnen sich die Teilchen mit gleichem Ladungs-Massenverhältnis $q∕m$ , aber unterschiedlicher Geschwindigkeit $v$ entlang einer Parabel an, daher auch der Name Parabelmethode. So entsteht schlussendlich auf dem Beobachtungsschirm eine Schar unterschiedlicher Parabeln, die jeweils einem bestimmten Ladungs-Massenverhältnis $q∕m$ zuzuordnen sind.

Abb. 7.4: Versuchsanordnung für die Massenspektroskopie nach der Parabelmethode von Joseph John Thomson. Auf die einzelnen Bestandteile des Experiments wird im Text eingegangen.

Wir geben nun eine kurze Herleitung dieses Sachverhalts, wobei wir in einem ersten Schritt den Einfluss von elektrischem Feld $E$ und Magnetfeld $B$ getrennt betrachten:

Das elektrische Feld $E$ ist homogen entlang der y-Richtung. Dadurch erfährt ein geladenes Teilchen eine Ablenkung entlang dieser Richtung. Für die y-Koordinate $y$ eines geladenen Teilchens der Ladung $q$ gilt die Bewegungsgleichung

Daraus folgt für die y-Koordinate

wobei wir im zweiten Schritt die Verweilzeit $t$ des Teilchens im Kondensator durch seine Geschwindigkeit $v$ und die Kondensatorlänge $L$ ausgedrückt haben. Dabei haben wir angenommen, dass das Magnetfeld klein und der Bahnradius des Teilchens gross ist.
Das magnetische Feld $B$ ist wie das elektrische Feld $E$ homogen entlang der y-Richtung. Dadurch erfährt das geladen Teilchen eine Lorentz-Kraft $FL$ , welche es auf eine Kreisbahn in der Ebene senkrecht zur Feldrichtung (xz-Ebene) zwingt. Dabei nimmt die Lorentz-Kraft $FL$ die Funktion einer Zentripetalkraft $FZ$ ein

wobei $r$ dem Bahnradius entspricht und allgemein als Zyklotronradius bezeichnet wird. Daraus ergibt sich für die Zentripetalbeschleunigung $aZ$

Das geladene Teilchen befindet sich nur eine relativ kurze Zeit unter dem Einfluss des Magnetfeld und daher können wir annehmen, dass die Bewegung entlang der x-Richtung eine gleichmässig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung $aZ$ ist. In der Zeit $t$ kommt es damit zu folgender Ablenkung $x$ in x-Richtung

Wiederum ersetzen wir die Verweilzeit $t$ durch den Quotienten $L ∕v$ . Wir erhalten mit (7.26)

Auflösen von (7.28) nach $v$ und einsetzen in (7.24) ergibt

Diese Gleichung ist die Gleichung einer Parabel. Die Form hängt dabei von den bekannten Grössen $E$ , $B$ und $L$ , sowie dem Ladungs-Massenverhältnis $q∕m$ ab. Somit ist die zu Beginn getätigte Aussage bestätigt: Auf dem Beobachtungsschirm entsteht eine Schar unterschiedlicher Parabeln, die jeweils einem bestimmten Ladungs-Massenverhältnis $q∕m$ zuzuordnen sind. Damit ist wie bereits erwähnt eine räumliche Trennung von Isotopen - oder ganz allgemein die Trennung von geladenen Teilchen mit unterschiedlichen Ladungs-Massenverhältnissen $q∕m$ - möglich. Zusätzlich kann bei bekannter Ladung $q$ aus der Form einer Parabel die Teilchenmasse $m$ bestimmt werden.

7.4.2 Verbesserungen der Parabelmethode

In den Jahren nach der Erfindung der Parabelmethode durch Joseph John Thomson wurden diverse Verbesserungen angebracht, die zu hochauflösenden Massenspektrometern führten:

1918 führte Arthur Jeffrey Dempster die Richtungsfokussierung ein. Damit wurde erreicht, dass Teilchen mit den identischen physikalischen Eigenschaften (Geschwindigkeit und Ladungs-Massenverhältnis) aber unterschiedlicher Einschussrichtung trotzdem am selben Ort auf dem Beobachtungsschirm auftreffen.
1919 entwickelte Francis William Aston⁵ die Geschwindigkeitsfokussierung. Der Effekt war, dass die geladenen Teilchen mit unterschiedlichen Ladungs-Massenverhältnissen $q∕m$ sich neu in einem einzelnen Punkt und nicht mehr verteilt auf einer Parabel sammeln. Im Wesentlichen werden dazu gekreuzte anstatt parallele elektrische und magnetische Felder verwendet. Das Massenauflösungsvermögen $m ∕Δm$ beträgt für diese Methode

wobei $Δm$ die kleinste noch unterscheidbare Massendifferenz ist.
Die Kombination der Richtungs- und Geschwindigkeitsfokussierung wird Doppelfokussierung genannt. Man erreicht heute Auflösungen von

7.4.3 Anwendungen der Massenspektroskopie

Neben der bereits erwähnten Verwendung in der Atomphysik zur Analyse und Trennung von Zusammensetzungen verschiedener Isotope findet die Massenspektroskopie in diversen Gebieten der Chemie und Physik ihre Anwendung:

Analyse und Identifizierung von Stoffen in der Chemie.
Restgas-Analyse in Vakuumsystemen in der Physik, Chemie und Technik.
Erzeugung von isotopenreinen Atom- und Molekülstrahlen.

Es sei hier noch die Bemerkung angefügt, dass zur Trennung von Zusammensetzungen verschiedener Isotope neben der Massenspektroskopie diverse andere Methoden zur Verfügung stehen und eingesetzt werden. Eine Übersicht gibt zum Beispiel das Buch Atom- und Quantenphysik von Hermann Haken und Hans Wolf [9].

7.5 Die Kernstruktur des Atoms

Ein erster Schritt in Richtung dem Atommodell, das wir heute kennen, lieferten Erkenntnisse aus Streuexperimenten mit Elektronen an Materie (Atomen) sowie die durch Rutherford durchgeführten Streuexperimenten mit $α$ -Teilchen an Goldfolien.

7.5.1 Elektronen-Streuung

Erste Untersuchungen von Atomen durch Elektronen-Streuung gehen etwa auf das Jahr 1890 zurück. Sie wurden vom deutschen Physiker Philipp Lenard durchgeführt (siehe Abb. 7.5): (1) Mittels Thermoemission werden Elektronen erzeugt, die dann (2) beschleunigt werden und (3) mit Atomen wechselwirken. Die Elektronen, die durchgehen, werden (4) in einem Elektronen-Detektor aufgefangen und gezählt.

Abb. 7.5: Schematischer Aufbau zur Untersuchung der Atomstruktur durch Elektronen-Streuung. Auf die einzelnen Teile der Versuchsanordnung wird im Text eingegangen.

Bei der Wechselwirkung der Elektronen mit den Atomen können verschiedene Streuprozesse auftreten:

Es kommt zur inelastischen Streuung, d.h. die Elektronen verlieren beim Zusammenstoss mit den Atomen ihre Energie. Dies kann durch Anregung oder Ionisation von Atomen zustande kommen.
Es kommt zur elastischen Streuung, d.h. die Elektronen behalten ihre Energie bei, ändern aber ihre Richtung.

Führt man das beschriebene Experiment durch, so beobachtet man, dass bei ausreichend hohen Beschleunigungsspannungen $U$ Elektronen einige cm Gas (bei Normaldruck 1 bar) bzw. einige $μ$ m dicke Metallplatten ( $~ 104$ Atomlagen) durchdringen können. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomen ist folglich viel kleiner als die Wechselwirkung zwischen Atomen. Insbesondere zeigt dieses Resultat, dass Atome für Elektronen durchdringbar sind. Wäre dem nicht so, so würde eine Streuung der Elektronen innerhalb der mittleren gaskinetischen freien Weglänge ( $-7 10$ m) stattfinden.

Wir kommen nun zur quantitativen Messung des Wirkungsquerschnitts $σ$ . Der Aufbau eines möglichen Experiments entspricht im Wesentlichen dem in Abb. 7.5. Dabei wird die einfallende und die durchgelassene Elektronen-Intensi-tät $I0$ bzw. $I$ , sowie die Dichte $n$ der Streuatome bestimmt. Diese Messungen erfolgen für verschiedene Beschleunigungsspannungen $U$ . Der Wirkungsquerschnitt $σ$ ergibt sich aus der Formel (7.19)

wobei $x$ der Länge der Wechselwirkungszone zwischen Elektronen und Atomen und $α$ dem makroskopischer Streukoeffizient entsprechen. Unter der Annahme von gleichen Streuatomen gilt

Die Summe $r1 + r2$ bezeichnen wir mit $R$ . $R$ entspricht dem sogenannten Stossradius. Das Resultat einer Messung des Stossradius $R$ in Abhängigkeit der Elektronengeschwindigkeit $v$ (siehe Abb. 7.6) zeigt, dass nur ein kleiner Bruchteil eines Atoms für Elektronen (insbesondere schnelle Elektronen) undurchlässig ist. Nach Lenard ist das Innere eines Atoms so leer wie das Weltall. Daraus wurde geschlossen, dass Masse und Ladung ungleichmässig (körnig) im Atom verteilt sind.

Abb. 7.6: Stossradius $R$ in Abhängigkeit der Elektronengeschwindigkeit $v$ (ausgedrückt in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit $c$ ).

Die Vorstellung eines Atomkerns, der die gesamte positive Ladung und beinahe die gesamte Masse des Atoms enthält, entstand durch die Versuche von Rutherford mit denen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen.

7.5.2 Rutherford-Streuung und das Rutherfordsche Atommodell

Rutherford untersuchte in seinen Versuchen nicht die Streuung von Elektronen, sondern die Streuung von $α$ -Teilchen an einer Folie. $α$ -Teilchen sind doppelt ionisierte Helium-Kerne $42He++$ mit einer hohen kinetischen Energie $Ekin ~ 5$ MeV. Sie entstehen bei einem radioaktiven Zerfall. Für $α$ -Teilchen ist es möglich viele Atomschichten zu passieren bis sie alle ihre kinetische Energie an die Atome abgegeben haben. Z.B. kommen $α$ -Teilchen in Luft unter Normalbedingungen erst nach einer Strecke von 3.5 cm zum Stillstand.

Beim Rutherford-Streuexperiment (siehe Abb. 7.7) werden $α$ -Teilchen durch den Zerfall eines radioaktiven Materials erzeugt. Der Strahl wird durch einen Kollimator gebündelt und trifft auf eine Metallfolie. Als Detektor dient ein Szintillationsschirm, welcher durch die $α$ -Teilchen angeregt wird und Licht ausstrahlt, welches beobachtet werden kann.

Abb. 7.7: Versuchsaufbau des Rutherford-Streuexperiments: Mittels radioaktiver Quelle erzeugter $α$ -Teilchen werden an einer Folie gestreut und anschliessend auf einem Szintillationsschirm registriert.

In diesem Experiment interessiert uns nicht wie bisher die ungestört durchgelassen Intensität der $α$ -Teilchen, sondern die Intensität der gestreuten $α$ -Teilchen in Abhängigkeit des Streuwinkels $ϑ$ . Die Messung liefert folgendes Ergebnis:

Die Streuintensität zeigt eine starke Abhängigkeit vom Streuwinkel $ϑ$ .
Eine genaue Analyse liefert für die Streuintensität $I$
Es kommen sehr grosse Streuwinkel $ϑ$ vor.

Rutherford deutete diese Resultate wie folgt (siehe Abb. 7.8): Rutherfordsches Atommodell (1911)

Ein Atom besitzt einen Kern mit Radius $R ~ 10- 14$ m, welcher beinahe die gesamte Masse des Atoms enthält. Die Streuung von $α$ -Teilchen erfolgt fast ausschliesslich an diesen Kernen.
Der Atomkern enthält die gesamte positive Ladung $Ze$ . Dabei bezeichnet $Z$ die Kernladungszahl.
Der Atomkern ist aus Neutralitätsgründen von negativ geladenen Elektronen umgeben.
Die Wechselwirkung zwischen $α$ -Teilchen und Atomkern ist rein elektrostatisch und durch die Coulomb-Wechselwirkung bestimmt.

Abb. 7.8: Rutherfordsches Atommodell: Ein Atomkern der Ladung $Ze$ ist von negativen Elektronen umgeben.

7.5.3 Rutherfordsche Streuformel

Wir kommen nun zurück zum ursprünglichen Streuexperiment und leiten eine Formel für die Streuintensität in Abhängigkeit des Streuwinkels $ϑ$ her. Wir betrachten die Streuung von $α$ -Teilchen an einem Atomkern der Ladung $Ze$ (siehe Abb. 7.9).

Abb. 7.9: Skizze der Rutherford-Streuung zur Herleitung der Rutherfordschen Streuformel.

Es gelten die folgenden Annahmen:

Die $α$ -Teilchen und der Atomkern sind punktförmig.
Der Kern bleibt in Ruhe, was gleichbedeutend mit der Annahme ist, dass die Masse des Kerns viel grösser ist als die Masse eines $α$ -Teilchen.
Würden die $α$ -Teilchen nicht abgelenkt, so würden sie in einem Abstand $b$ am Kern vorbeifliegen. $b$ wird Stossparameter genannt.
Wie im Rutherfordschen Atommodell bereits erwähnt ist die Wechselwirkung zwischen $α$ -Teilchen und Atomkern rein elektrostatisch und durch die Coulomb-Wechselwirkung bestimmt. Die Coulomb-Kraft $F⃗C$ zwischen einem $α$ -Teilchen der Ladung $2e$ und dem Atomkern der Ladung $Ze$ ist gegeben durch

wobei $r$ der Abstand zwischen $α$ -Teilchen und Kern bezeichnet.
Aus der Mechanik wissen wir, dass ein $1∕r$ -Zentralpotenzial als mögliche Bahnkurven Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln zulässt. Da die Coulomb-Kraft eine abstossende Wirkung hat, kommen als mögliche Bahnkurven jedoch nur Hyperbeln mit dem Atomkern im Brennpunkt in Frage.

Die Vorgehensweise ist nun die folgende:

In einem ersten Schritt betrachten wir die Streuung eines einzelnen $α$ -Teilchens an einem einzelnen Atomkern und berechnen den Zusammenhang zwischen Stossparameter $b$ und Streuwinkel $ϑ$ .
In der Realität ist es nicht möglich die Streuung eines einzelnes $α$ -Teilchens an einem einzelnen Atomkern zu betrachten. Wir erweitern daher in einem zweiten Schritt das Modell auf $N$ $α$ -Teilchen, welche an einer Folie (Dicke $D$ , Fläche $A$ und Dichte $n$ ) streuen und bestimmen die Zahl $dN$ der Teilchen welche vom Detektor bei einem bestimmten Streuwinkel $ϑ$ registriert werden.

Wir kommen zur Herleitung nach der oben aufgeführten Vorgehensweise:

Die Anfangsgeschwindigkeit des $α$ -Teilchens im Punkt A sei $v0$ . Wie bereits erwähnt bewegt sich das $α$ -Teilchen entlang einer Hyperbel. Wir betrachten nun das $α$ -Teilchen in einem beliebiger Punkt B mit den Polarkoordinaten ( $r$ , $φ$ ) auf dieser Hyperbel und zerlegen die dort wirkende Kraft $F$ in eine senkrechte und eine horizontale Komponente $F ⊥$ bzw. $F ∥$ , d.h. es gilt

Entlang der Hyperbel sind Kraft $⃗ F$ und Abstandsvektor $⃗r$ immer parallel zueinander. Demzufolge verschwindet das Drehmoment $M⃗ = ⃗r × ⃗F$ und der Bahndrehimpuls $⃗L = ⃗r × ⃗p$ ist entlang der Hyperbel erhalten. Insbesondere können wir den Bahndrehimpuls in Punkt A mit demjenigen in Punkt B gleichsetzen

Wir stellen nun die Bewegungsgleichung für die Bewegung senkrecht zur ursprünglichen Flugrichtung auf

Integration über die Zeit von Punkt A nach C und ersetzen von $1∕r2$ mit Hilfe von (7.38) liefert

Wir substituieren auf der linken Seite $t → v⊥$ und auf der rechten Seite $t → φ$ und erhalten

Zur Auswertung des Integrals betrachten wir die Grenzen etwas genauer. Wir nehmen an, dass der Punkt A soweit vom Kern entfernt ist (im Unendlichen), dass keine Coulomb-Kraft wirkt und daher $v⊥,A = 0$ ist. Ausserdem gilt: $φA = 0$ . Auch den Punkt C schieben wir ins Unendliche, sodass gilt $φ = π - ϑ C$ . Die Geschwindigkeit entspricht aufgrund der Energieerhaltung derjenigen Geschwindigkeit im Punkt A. Folglich gilt $v⊥,C = v0sinϑ$ . Einsetzen der Grenzen in (7.41) liefert

Somit erhalten wir

Mit $(1 + cosϑ)∕sinϑ = cot ϑ∕2$ erhalten wir schlussendlich für den Stossparameter $b$ in Abhängigkeit des Streuwinkels $ϑ$ den folgenden Ausdruck
In der Realität ist es für einen Detektor nicht möglich die Anzahl einfallender $α$ -Teilchen bei einem festen Winkel $ϑ$ zu messen, sondern nur in einem Winkelintervall [ $ϑ$ , $ϑ+ dϑ$ ] (siehe Abb. 7.10). Die entsprechenden Stossparameter liegen im Intervall [ $b$ , $b+ db$ ].

Abb. 7.10: Skizze der Rutherford-Streuung zur Herleitung der Rutherfordschen Streuformel.

Aus (7.44) folgt folgender Zusammenhang

Wir sehen, dass mit wachsendem Stossparameter $b$ der Streuwinkel $ϑ$ kleiner wird. D.h. $α$ -Teilchen mit einem Stossparameter $b$ im Intervall [ $b$ , $b + db$ ] werden in das Winkelintervall [ $ϑ - |dϑ |$ , $ϑ$ ] gestreut. Dabei gilt

Da unser Problem rotationssymmetrisch ist, entspricht einem Streuwinkelintervall [ $ϑ - |dϑ |$ , $ϑ$ ] ein ganzer Kreisring. Entsprechend stammen die zugehörigen Stossparameter auch aus einem Kreisring der Radien $r1 = b$ und $r2 = b + db$ , siehe Abb. 7.10. Diese Stossparameter stammen aus einer Fläche $df$ , der sogenannten aktiven Fläche für dieses Streuwinkelintervall [ $ϑ - |dϑ|$ , $ϑ$ ]. Es gilt

Bisher haben wir nur ein Streuatom der Folie betrachtet. Wir erweitern nun das Modell indem wir uns die gesamte Folie (Dicke $D$ , Fläche $A$ und Dichte $n$ ) anschauen. Für die aktive Fläche $dF$ aller Atome gilt

Dabei haben wir angenommen, dass sich die aktiven Flächen der einzelnen Streuatome nicht überlappen. Diese Annahme ist bei dünnen Folien (bis 10000 Atomlagen) gerechtfertigt.
Die Wahrscheinlichkeit $W$ , dass ein $α$ -Teilchen die aktiven Flächen $dF$ der Folienatome trifft, beträgt

Mit anderen Worten: $W$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einfallendes $α$ -Teilchen ins Winkelintervall [ $ϑ - |dϑ|$ , $ϑ$ ] gestreut wird. Nun erweitern wir das Modell von einem auf $N$ einfallende $α$ -Teilchen. Dann ist die Anzahl $α$ -Teilchen $dN ′$ , welche in das Winkelintervall [ $ϑ - |dϑ |$ , $ϑ$ ] gestreut werden, gegeben durch

Ein Detektor misst schlussendlich nicht die Anzahl einfallender $α$ -Teilchen $dN ′$ auf einem ganzen Kreisring, sondern die Anzahl einfallender $α$ -Teil-chen $dN$ innerhalb eines kleinen Segments. Wir betrachten das Ganze auf der Einheitskugel: Sei $dS$ die Fläche des Kreisrings und $dΩ$ die Fläche des Segments (auch Raumwinkel genannt), dann gilt

Die Fläche $dS$ des Kreisrings beträgt

Einsetzen von (7.50) und (7.52) in (7.51) ergibt

Mit (7.44), (7.45) und (7.46) erhalten wir für das Verhältnis $dN∕N$ , d.h. für die Anzahl in ein Raumwinkelelement $dΩ$ um den Streuwinkel $ϑ$ gestreuter $α$ -Teilchen $dN$ durch die Anzahl der einfallenden $α$ -Teilchen $N$ , das folgende Schlussresultat:

Rutherfordsche Streuformel

Bemerkungen zur Rutherfordschen Streuformel

Der Grenzfall $ϑ → 0$ ist gleichbedeutend mit dem Grenzfall $b → ∞$ und ist daher nicht sinnvoll. Der Stossparameter sollte den halben gegenseitigen Abstand der Streuatome nicht überschreiten. Für $ϑ = π$ , d.h. $b = 0$ , erreicht $dN ∕N$ ein Minimum.
Die Rutherfordsche Streuformel stimmt für einen grossen Winkelbereich mit dem Experiment überein. Nur bei sehr grossen (kleinen) und sehr kleinen (grossen) Streuwinkeln $ϑ$ (Stossparametern $b$ ) treten Abweichungen auf.
Bei sehr grossen Stossparametern $-12 b ≥ 10$ m sind Abschirmeffekte des Coulomb-Potentials des Atomkerns durch Atomelektronen für die Abweichungen zwischen Formel und Experiment verantwortlich.
Für sehr kleine Stossparameter $b$ beruhen die Abweichungen zwischen Formel und Experiment auf der Tatsache, dass die Modellannahme, dass nur die abstossende Coulomb-Kraft für die Ablenkung der $α$ -Teilchen verantwortlich ist, nicht mehr gültig ist. Es kommen neu sogenannte anziehende Kernkräfte zum Tragen. Diese Abweichungen nennt man anomale Rutherford-Streuung.
Aus diesen Resultaten ergeben sich Aussagen über den Kernradius $R$ . Dieser ist definiert als der Abstand, bei dem die Wirkung der Coulomb-Kraft und der Kernkraft auf die $α$ -Teilchen von der gleichen Grössenordnung sind. Man erhält aus solchen Messungen für den Kernradius $R$ den folgenden Wert

wobei $A$ der Massenzahl entspricht.
Aus diesen Beobachtungen ergab sich die Vorstellung eines Atomkerns, welcher von Elektronen umkreist wird und damit die Bestätigung des Rutherfordschen Atommodells (siehe Abschnitt 7.5.2).
Die Resultate aus Streuexperimenten mit verschiedenen Folien können zur Bestimmung der Kernladungszahl $Z$ benutzt werden.
Streuprozesse nehmen in der Physik bis heute eine wichtige Rolle ein. Zum Beispiel erhielt Robert Hofstadter für Streuversuche von Elektronen an Atomkernen 1961 den Nobelpreis. Heute werden Streuversuche im grossen Stil am Deutschen Elektronen-Synchrotron (DESY) in Hamburg oder von der Europäischen Organisation für Kernforschung (CERN) in Genf durchgeführt.

7.6 Zusammenfassung

Als Atom (griechisch für unteilbar) wird der kleinste unveränderliche Bestandteil eines chemischen Elements bezeichnet.
Die Atommasse wird in relativen Atommassen $Arel$ angegeben. Als Einheit dient die atomare Masseneinheit 1 u = 1/12 der Masse eines neutralen Kohlenstoffatoms. Der Zusammenhang zwischen der absoluten und relativen Atommasse ist gegeben durch $m = Arel∕NA$ , wobei $NA$ die Avogadro-Konstante bezeichnet.
Die Grösse eines Atoms kann mittels Streuexperimenten, aus dem Kovolumen oder mittels Röntgen-Beugung bestimmt werden. Mit Abbildungstechniken wie dem Elektronenmikroskop oder Rastertunnelmikroskop können Atome sogar sichtbar gemacht werden.
Im Periodensystem der Elemente sind Atome nach ihren chemischen und physikalischen Eigenschaften angeordnet. Die Atome werden mit einem Symbol abgekürzt und nach steigender Kernladungszahl $Z$ (auch Ordnungszahl genannt) aufgeführt. Sie ist oberhalb jedes Atomsymbols aufgeführt und entspricht der Anzahl Protonen (Elektronen). Die Massenzahl $A$ ist unterhalb jedes Atomsymbols aufgeführt. Sie ist die der relativen Atommasse $Arel$ nächstgelegene ganze Zahl und entspricht der Summe der Anzahl Protonen $Z$ und Anzahl Neutronen $N$ .
Die Massenspektroskopie dient zur Trennung von Atomsorten, welche unterschiedliche Ladungs-Massenverhältnisse $q∕m$ aufweisen. Sie stand am Ursprung der Entdeckung der Isotopie (zwei Atome mit gleicher Kernladungszahl $Z$ aber unterschiedlicher Massenzahl $A$ heissen Isotope). Das Grundprinzip dieser Methode besteht darin, dass ein Strahl geladener Teilchen mit unterschiedlichen Ladungs-Massenverhältnissen $q∕m$ ein elektrisches und magnetisches Feld passiert und dadurch räumlich getrennt wird. Neben der Analyse und Trennung von Isotopen dient die Massenspektroskopie zur Analyse und Identifizierung von Stoffen in der Chemie und der Restgas-Analyse in Vakuumsystemen in der Physik, Chemie und Technik.
Ein erster Schritt in Richtung dem Atommodell, das wir heute kennen, lieferten Erkenntnisse aus Streuexperimenten mit Elektronen an Materie (Atomen). Die Resultate zeigten, dass nur ein kleiner Bruchteil eines Atoms für (schnelle) Elektronen undurchlässig ist und motivierten den Physiker Lenard zur Aussage, dass das Innere eines Atoms so leer wie das Weltall sei.
Rutherford präzisierte diese Vorstellung aufgrund seiner Resulate aus Streuexperimenten mit $α$ -Teilchen an Goldfolien und formulierte 1911 das nach ihm benannte Rutherfordsche Atommodell:

Ein Atom besitzt einen Kern mit Radius $R ~ 10- 14$ m, welcher beinahe die gesamte Masse des Atoms enthält. Die Streuung von $α$ -Teilchen erfolgt fast ausschliesslich an diesen Kernen.
Der Atomkern enthält die gesamte positive Ladung $Ze$ . Dabei bezeichnet $Z$ die Kernladungszahl.
Der Atomkern ist aus Neutralitätsgründen von negativ geladenen Elektronen umgeben.
Die Wechselwirkung zwischen $α$ -Teilchen und Atomkern ist rein elektrostatisch und durch die Coulomb-Wechselwirkung bestimmt.