Anhang J
Hamilton-Funktion im Magnetfeld

In Abschnitt 12.3 haben wir die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Ladung und der Masse im Magnetfeld kennengelernt. Sie lautet (siehe Gl. (12.15))

Wir geben in diesem Kapitel eine Motivation dieser Hamilton-Funktion, indem wir die erweiterte Hamilton-Funktion

für ein Teilchen der Ladung und der Masse im elektromagnetischen Feld, welches durch die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte charakterisiert ist, auf die bekannte Newtonsche Bewegungsgleichung

zurückführen. Dabei ist das elektrische Potential und es gelten zwischen der elektrischen Feldstärke , der magnetische Flussdichte , dem elektrischen Potential und dem Vektorpotential die folgenden Zusammenhänge

Wir beginnen mit der Aufstellung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

wobei , , . Aus (J.6) ergibt sich für die zweite Ableitung von nach der Zeit

Damit erhalten wir

Mit der Vektoridentität

ergibt sich

und damit

Somit haben wir die Hamilton-Funktion (J.2) auf die Newtonsche Bewegungsgleichung (J.3) zurückgeführt.