Am Ende des Abschnitts 11.1 führen wir diverse Kommutatorrelationen auf, dessen Berechnungen wir an dieser Stelle durchführen. Auf die Herleitung der Relationen (11.12), (11.13) und (11.14) wurde bereits in Abschnitt 9.3.3 eingegangen, weshalb wir uns hier auf die Relationen in (11.15) und (11.16) beschränken, d.h. wir zeigen die Richtigkeit der folgenden fünf Kommutatorrelationen
Beweis:
Wir beweisen nun einzeln die Richtigkeit der Ausdrücke (H.1) - (H.5) durch explizites Ausrechnen. Dabei treten drei Ableitungen wiederholt auf, weshalb wir sie hier zu Beginn aufführen
Damit resultiert für die Anwendung des Produkts auf eine beliebige Wellenfunktion
Andererseits ergibt sich
Die Ausdrücke in (H.11) und (H.12) sind identisch und daher erhalten wir
Damit resultiert für die Anwendung des Produkts auf eine beliebige Wellenfunktion
Andererseits ergibt sich
Die Ausdrücke in (H.15) und (H.16) sind identisch und daher erhalten wir
Damit erhalten wir für die Anwendung des Kommutators auf eine beliebige Wellenfunktion
Damit resultiert für die Anwendung des Produkts auf eine beliebige Wellenfunktion
Ausführung der Ableitung liefert mit Hilfe von (H.6), (H.7) und (H.8)
Andererseits ergibt sich
Die Ausdrücke in (H.23) und (H.24) sind identisch und daher erhalten wir
Damit erhalten wir für die Anwendung des Kommutators auf eine beliebige Wellenfunktion