Kapitel 10
Der quantenmechanische harmonische Oszillator

In diesem Kapitel befassen wir uns mit den quantenmechanischen Eigenschaften eines der grundlegenden Modelle der Physik, dem harmonischen Oszillator. Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches System in dem eine charakteristische Grösse, wie z.B. die Koordinate eines Teilchens, eine sinusförmige Zeitabhängigkeit zeigt, d.h. eine harmonische Schwingung ausführt. Diese Oszillationen werden durch eine in dieser charakteristischen Grösse linearen Rückstellkraft im Zusammenspiel mit der Trägheit des Systems verursacht. In der Natur gibt es sehr viele physikalische Systeme, die in guter Näherung als ein solches lineares Schwingungssystem betrachtet werden können: Mechanische Oszillatoren, z.B. das Federpendel, elektrische Oszillatoren, z.B. der LC-Schwingkreis, die Schwingungen zweiatomiger Moleküle oder Gitterschwingungen in einem Festkörper, um nur einige zu nennen.

Hier beginnen wir mit der klassischen Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators, die wir für das Beispiel des Federpendels formulieren. Es folgt dann die quantenmechanische Behandlung des harmonischen Oszillators, bei der wir die zugehörige Schrödinger-Gleichung lösen. Zum Abschluss des Kapitels vergleichen wir den klassischen mit dem quantenmechanischen Oszillator.

10.1 Klassische Bewegungsgleichung

Wir betrachten ein Federpendel (siehe Abb. 10.1), d.h. ein Teilchen der Masse m  , welches an einer Feder mit Federkonstante k  befestigt ist und Oszillationen um die Ruhelage x = 0  ausführt.


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Abb. 10.1: Federpendel: Ein Teilchen der Masse m  ist an einer Feder mit Federkonstante k  befestigt und führt Oszillationen um die Ruhelage x = 0  aus.


Diese Schwingung um die Ruhelage kommt aufgrund der durch die Feder bewirkten linearen Kraft zustande. Diese Kraft wird Rückstellkraft genannt, da sie in jedem Punkt auf der x-Achse in Richtung Ruhelage zeigt und somit bei einer Auslenkung das Teilchen wieder in Richtung der Ruhelage zwingt. Für ein Federpendel ist diese Rückstellkraft Fk  durch das sogenannte Hookesche Gesetz gegeben

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Sie ist wie bereits erwähnt linear in der Auslenkung x  aus der Ruhelage. Die klassische Bewegungsgleichung lautet demzufolge

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Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung bei der Kreisfrequenz     ∘  -----
ω =    k∕m

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mit Amplitude A  und der Phase ϕ  , die von den Anfangsbedingungen abhängen. Die Lösung verdeutlicht noch einmal, dass bei einem harmonischen Oszillator die Frequenz ν = ω∕2π  unabhängig von der Amplitude A  ist.

Diese grundlegenden Eigenschaften, die wir am Beispiel des Federpendels kennengelernt haben, liegen allen Systemen, welche durch ein Oszillatormodell beschrieben werden können, zugrunde. Jedes solche System führt eine Oszillation um eine Ruhelage, bewirkt durch eine lineare Rückstellkraft, aus, wobei die Oszillationsfrequenz für genügend kleine Auslenkungen unabhängig von der Amplitude ist.

Wie zu Beginn erwähnt, lassen sich zahlreiche physikalische Systeme angenähert als harmonische Oszillatoren beschreiben. Jedoch sind in realen Systemen die Rückstellkräfte häufig bei grösseren Auslenkungen nicht linear. Diese Nichtlinearität führt zu anharmonischen Oszillationen, bei denen das System Schwingungen bei einer Reihe von Frequenzen ausführt. In anderen Worten ein idealer harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft für beliebig grosse Auslenkungen linear in der Auslenkung aus der Ruhelage ist, existiert nicht. Dennoch kann die Rückstellkraft auch für solche Systeme für genügend kleine Auslenkungen aus der Ruhelage linearisiert werden. Mathematisch bedeutet diese Linearisierung, dass die Rückstellkraft F(x)  um die Ruhelage x0   bis zum linearen Term (Taylor-)entwickelt wird

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wobei wir verwendet haben, dass in der Ruhelage x0   keine Kraft auf das Teilchen wirkt, d.h. F(x ) = 0
   0  . Wenn alle anderen Terme in dieser Entwicklung ausreichend klein sind, so lässt sich das System in guter Näherung als harmonischer Oszillator beschreiben.

10.2 Quantenmechanische Lösung

10.2.1 Formulierung der Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung lautet

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Das Potential V (x,t)  (siehe Abb. 10.2) ergibt sich dabei aus der Integration über die Rückstellkraft Fk = - kx

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Abb. 10.2: Harmonisches Potential V (x) = ω2x2∕2  als Funktion von x  .


Wir sehen, dass das Potential zeitunabhängig ist und betrachten deshalb die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

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Diese Differentialgleichung lässt sich z.B. mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes lösen (siehe Anhang E).

Hier betrachten wir jedoch eine häufig verwendete Lösungsmethode, bei der zunächst sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eingeführt werden. Dazu schreiben wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung um, indem wir die beiden Operatoren

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einführen, wobei      ∘ ------
x0 =   ℏ∕ωm  die Oszillatoramplitude normiert.

Bevor wir die Schrödinger-Gleichung umschreiben, gehen wir zuerst auf einige wichtige Eigenschaften der Operatoren ˆb  und ˆb† ein:

Wir kommen nun zurück zu unserem ursprünglichen Ziel, der Formulierung der Schrödinger-Gleichung (10.7) mit Hilfe der Operatoren ˆb  und  †
ˆb . Wir berechnen dazu den Ausdruck ℏωˆb†ˆbu(x)  . Es ergibt sich mit      ∘ ------
x0 =   ℏ∕ωm  (siehe Berechnung (10.14))

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Damit hat die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators ausgedrückt in den Operatoren ˆ
b  und ˆ†
b die folgende Form

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Wir gehen noch einen Schritt weiter und schreiben

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D.h. die Eigenfunktionen u(x)  des Hamilton-Operators sind Eigenfunktionen des Operators     ˆ†ˆ
ˆn = b b  zum Eigenwert n = E∕(ℏω )- 1∕2  . Später werden wir erkennen, dass der Erwartungswert des Operators ˆn  der Anzahl n  der Quanten ℏω  des harmonischen Oszillators entspricht.

Unser nächstes Ziel ist nun die Bestimmung der Eigenfunktionen un(x)  und der entsprechenden Eigenwerte n  des Operators ˆn  . Die Eigenfunktionen un(x)  sind identisch mit denen des Hamilton-Operators und die entsprechenden Energieeigenwerte En  ergeben sich dann zu

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Dabei haben wir die Quantenzahl n  für die Eigenfunktionen un(x)  und die Energieeigenwerte En  eingeführt.

10.2.2 Berechnung des Grundzustands

Wir bestimmen den Grundzustand des Operators ˆn  , d.h. die Eigenfunktion un(x)  zum niedrigst möglichen Eigenwert n  . Dazu müssen wir als erstes den niedrigst möglichen Eigenwert bestimmen. Da der Operator ˆ†
 b der adjungierte Operator von ˆ
b ist, gilt

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Demzufolge ist der niedrigstmögliche Eigenwert n = 0  . Nach (10.22) muss dann für die entsprechende Eigenfunktion u (x)
 0  gelten ˆbu (x) = 0
  0  , d.h. wir erhalten folgende Differentialgleichung zur Bestimmung des Grundzustands u0(x)

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Wir wählen den Ansatz         sx2
u0(x ) = e   und erhalten für die Bestimmung der Konstanten s  die Gleichung     2
1∕x 0 + 2s = 0  mit der Lösung           2
s = - 1∕2x0   . Damit ergibt sich

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Die Konstante C  ergibt sich aus der Normierungsbedingung

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zu        --
C = (√ πx0)-1∕2   . Damit erhalten wir für den Grundzustand u0(x )  den folgenden Ausdruck (siehe Abb. 10.3)

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Abb. 10.3: Der Grundzustand des harmonischen Oszillators u0(x)  als Funktion von x  .


10.2.3 Berechnung der restlichen Eigenzustände

Zur Bestimmung der weiteren Eigenfunktionen un(x)  zeigen wir zwei kleine Sätze.

Satz 10.1 Ist un (x )  Eigenfunktion von ˆn  zum Eigenwert n  , so ist ˆ
bun(x)  eine Eigenfunktion von ˆn  zum Eigenwert n - 1  , d.h. der Operator ˆ
b  erniedrigt den Eigenwert n  um 1. Daher wird ˆb  Vernichtungsoperator genannt. Für die normierte Eigenfunktion un- 1(x)  gilt

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Beweis:

Wir wenden den Operator ˆ
b  auf die Eigenwertgleichung (10.20) an

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Mit ˆn = ˆb†ˆb  und (10.15) erhalten wir

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Mit

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folgt für die normierte Eigenfunktion un -1(x)

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□

Der entsprechende Satz für den Operator ˆb† lautet:

Satz 10.2 Ist un(x)  Eigenfunktion von nˆ  zum Eigenwert n  , so ist ˆ†
bun (x )  eine Eigenfunktion von ˆn  zum Eigenwert n + 1  , d.h. der Operator  †
ˆb erhöht den Eigenwert n  um 1. Daher wird ˆb† Erzeugungsoperator genannt. Für die normierte Eigenfunktion un+1(x)  gilt

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Beweis:

Wir wenden den Operator ˆb† auf die Eigenwertgleichung (10.20) an

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Mit ˆn = ˆb†ˆb  und (10.14) erhalten wir

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Mit

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folgt für die normierte Eigenfunktion un+1 (x)

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□

Nach Satz 10.2 ergeben sich nun die Eigenfunktionen u  (x )
  n  zu den Eigenwerten n  = 1, 2, 3, ... durch Anwendung von ˆ†
b auf u0(x)

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Wir zeigen nun, dass wir damit alle Eigenfunktionen gefunden haben, d.h. wir beweisen den folgenden Satz:

Satz 10.3 Mit             (  )
u (x) = √1-- ˆb† nu (x)
 n        n!      0  , n ∈ ℕ
      0   , haben wir alle Eigenfunktionen des Operators ˆn  gefunden.

Widerspruchsbeweis:

Wir nehmen an, dass ein Eigenwert n = m  + α  mit 0 < α < 1  und m ∈ ℕ existiert und zeigen, dass diese Annahme auf einen Widerspruch führt. Die Eigenwertgleichung lautet

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Mit (10.27) folgt

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Dies steht im Widerspruch zur Positivität der Eigenwerte von ˆn  .

□

10.2.4 Zusammenfassung der Lösung - Hermite-Polynome

Fassen wir die Abschnitte 10.2.2 und 10.2.3 zusammen:

Die Eigenfunktionen un (x)  des Hamilton-Operators des harmonischen Oszillators lauten (siehe Abb. 10.4)

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mit den Energieeigenwerten (siehe Tab. 10.1)

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Insbesondere sind die Eigenfunktionen u (x)
 n  reell und je grösser die Anzahl der Nullstellen der Eigenfunktionen ist, umso höher liegt der entsprechende Energieeigenwert. Diese Regel gilt allgemein bei eindimensionalen Problemen.


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Abb. 10.4: Die Eigenfunktionen u (x)
 n  des harmonischen Oszillators für die Quantenzahlen (a) n = 0  , (b) n = 1  , (c) n =  2  , (d) n = 3  , (e) n = 4  und (f) n = 5  als Funktion der Ortskoordinate x  .


Die Eigenfunktionen un (x)  lassen sich durch die sogenannten Hermite-Poly-nome Hn (x)  ausdrücken (siehe Anhang I.1). Es gilt

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wobei die Hermite-Polynome H  (x)
  n  gegeben sind durch (siehe Tab. 10.1)

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n  Hn (x)  En



   
0  1  1ℏω
2
   
1  2x  3ℏω
2
   
2    2
4x  - 2  5
2ℏω
   
3    3
8x -  12x  7
2ℏω
   
4     4      2
16x - 48x  + 12  9
2ℏω
   
5  32x5 - 160x3 + 120x  112 ℏω
   
...  ...  ...
n  (- 1)nex2 ∂nne-x2
        ∂x   ℏω (n + 1)
        2



   

Tab. 10.1: Übersicht über die Hermite-Polynome H  (x)
  n  und die entsprechenden Energieeigenwerten En  des harmonischen Oszillators.

10.2.5 Die Nullpunktsenergie

Die niedrigste Energie des harmonischen Oszillators ist klassisch E = 0  , quantenmechanisch E  = ℏω∕2  , d.h. im Gegensatz zur klassischen Mechanik erhalten wir in der Quantenmechanik eine endliche Grundzustandsenergie, auch Nullpunktsenergie genannt. In diesem Abschnitt gehen wir nun genauer auf diese Nullpunktsenergie ein.

Wir bestimmen als erstes die Orts- und Impulsunschärfe Δx  und Δp  . Für den Erwartungswert ⟨x⟩ des Ortes erhalten wir

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Demzufolge ergibt sich für die Ortsunschärfe Δx

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Analog erhalten wir für den Erwartungswert des Impulses ⟨p⟩ und die Impulsunschärfe Δp

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Damit erhalten wir im Grundzustand für die Orts- und Impulsunschärfe

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Somit ist das Teilchen im Grundzustand nicht bei x = 0  lokalisiert, sondern ist über einen endlichen Bereich „verschmiert“, verbunden mit einem endlichen Impuls. Diesen Sachverhalt wird Nullpunktsschwankung genannt.

Wir leiten zusätzlich eine Ungleichung für die Nullpunktsenergie ausgehend von der Unschärferelation

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her. Die Wellenfunktion werden wir dazu nicht explizit berechnen. Aus Symmetriegründen gilt für den Grundzustand ⟨x⟩ = ⟨p⟩ = 0  und somit

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Damit erhalten wir für die Energie die folgende Ungleichung

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Wir bestimmen das Minimum der rechten Seite der Ungleichung indem wir die Ableitung nach ⟨ 2⟩
 p null setzen

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Auflösen nach ⟨ 2⟩
 p  min   ergibt

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Damit lautet die Ungleichung für die Energie

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Somit wird klar, dass die Nullpunktsenergie der kleinste Energiewert ist, der mit der Unschärferelation vereinbar ist.

10.2.6 Kohärente Zustände

Für die stationären Lösungen un(x)  gilt nach (10.46) ⟨x⟩ = 0  , d.h. in diesen stationären Zuständen führt der harmonische Oszillator einzeln keine Oszillation aus. Sie haben daher insbesondere nichts mit der klassischen Oszillationsbewegung gemeinsam. Das Ziel ist es nun Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung zu bestimmen, die eine periodische Oszillation darstellen, d.h. Zustände in denen der Erwartungswert des Ortes nicht verschwindet, sondern bzgl. der Zeitabhängigkeit mit der klassischen Oszillationsbewegung übereinstimmt. Wir gehen dazu von den Eigenzuständen uα(x)  des Vernichtungsoperators ˆ
b  aus

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Wir entwickeln diese Zustände uα(x)  nach den stationären Zuständen un (x)  . Nach Abschnitt 9.5.7 erhalten wir

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wobei für die Entwicklungskoeffizienten cn  mit (9.278), (10.38), (10.58) und der Eigenschaft, dass ˆ
b  der adjungierte Operator von ˆ†
b ist, gilt

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Damit folgt

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Die Konstante C  ergibt sich aus der Normierungsbedingung

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Damit erhalten wir

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Einsetzen in (10.61) liefert für die Zustände uα(x)  die folgende Entwicklung

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Die Zustände ψα (x, t)  erhalten wir durch die Zeitentwicklung der stationären Zustände un (x )

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Mit En =  ℏω(n + 1∕2)  ergibt sich

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Die Zustände ψα(x,t)  werden kohärente Zustände1 genannt und sind Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Für den Erwartungswert ⟨x⟩ ergibt sich mit α ≡ |α |eiδ

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D.h. der Erwartungswert des Ortes führt eine periodische Oszillation aus. Wir haben also mit diesen kohärenten Zuständen, Zustände des harmonischen Oszillators gefunden, in denen der Erwartungswert des Ortes die selbe Zeitabhängigkeit wie die klassische Schwingung zeigt.

10.3 Vergleich zwischen klassischem und quantenmechanischem harmonischen Oszillator


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Abb. 10.5: Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit |un(x)|2   (rot gepunktete Linie) und die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl (x )  (blaue durchgezogene Linie) als Funktion der Ortskoordinate x  für die Quantenzahlen (a) n = 5  und (b) n = 20  . Die schwarz gestrichelten Linien markieren die klassischen Umkehrpunkte bei x = ħq0   .


Zum Abschluss dieses Kapitels vergleichen wir den quantenmechanischen mit dem klassischen harmonischen Oszillator. Die klassische Bewegung ist beschrieben durch

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wobei q0   die Amplitude der Schwingung bezeichnet. Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x)dx  das Teilchen im Intervall [x,x + dx]  anzutreffen, ist gegeben durch

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wobei dt  die Aufenthaltsdauer in dx  und T =  2π∕ω  die Periode ist. Mit (10.68) erhalten wir für dx  den Ausdruck

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Einsetzen in (10.70) ergibt

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Abb. 10.5 zeigt die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit |u (x)|2
 n für die Quantenzahlen n = 5  und n = 20  zusammen mit der entsprechenden klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x)  : Die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit Wkl(x)  nimmt gegen die Umkehrpunkte x = ħq0   monoton zu (da sie umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit ist). Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit        2
|un(x)|   oszilliert, wobei die Höhe der Maxima gegen die klassische Umkehrpunkte zunimmt. Quantenmechanisch existiert zusätzlich eine endliche Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten x = ħq
       0   anzutreffen. Für sehr hohe Quantenzahlen n  nähert sich die quantenmechanische der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Die Oszillationen werden immer schwächer und die Wahrscheinlichkeit das Teilchen bei Amplituden grösser als den klassischen Umkehrpunkten x = ħq0   anzutreffen sinkt.

10.4 Zusammenfassung