, 
und 
kennengelernt.
Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.
In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen , und kennengelernt.
Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.
Die Pauli-Matrix 
ergibt sich aus der Anwendung von 
auf die beiden
Basiszustände 
und 
. Mit (13.12) ergibt
sich
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für 
das folgende Resultat
Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen 
und 
leiten wir die Eigenschaften
und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren
und 
unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen 
und
her.
Die Leiteroperatoren 
und 
sind nach (13.28) und (13.29) gegeben
durch
Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:
mit (K.5) und (K.6) ergibt sich
und in Analogie zu (11.15) gilt
Wir wenden nun den Operator 
auf die Zustände 
an und untersuchen
damit den Einfluss der Leiteroperatoren 
auf die magnetische Spinquantenzahl
. Wir erhalten
Somit erhöht (erniedrigt) der Operator 
(
) die Quantenzahl 
um 1. Auf
analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren 
auf die
Spinquantenzahl 
. Es gilt
Folglich bleibt die Spinquantenzahl 
unverändert bei der Anwendung der
Leiteroperatoren 
.
Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände 
und erhalten
mit (K.5), (K.6), (13.10) und (13.11)
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen
auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der
Quantenzahlen 
und 
unter der Anwendung der Leiteroperatoren 
erhalten
wir damit die folgende Gleichung
Mit 
und 
ergibt sich daraus für die Anwendung der
Leiteroperatoren 
auf die beiden Basiszustände 
und
Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren 
durch die folgenden Matrizen
darstellen
Damit folgt für die beiden Operatoren 
und 
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für 
und 
das folgende
Resultat
