C Beweis Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

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Anhang C
Beweis Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Wir zeigen hier die Richtigkeit des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens aus Abschnitt 9.5.6, welches ermöglicht aus ursprünglich $n$ nicht orthogonalen (normierten) Eigenfunktionen $ψi(x,t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n$ , $n$ orthogonale (normierte) Eigenfunktionen $Ψi(x,t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n$ , zu gewinnen. Zu zeigen ist, dass die $n$ durch (9.270) definierten neuen (normierten) Eigenfunktionen $Ψi (x, t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n$ , paarweise orthogonal zueinander sind, d.h. wir müssen zeigen, dass

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Der Beweis erfolgt nach dem Induktionsverfahren:

Verankerung: Für $n = 1$ ist die Richtigkeit der Aussage klar.
Schritt $n - 1 ↦→ n$ : Wir nehmen also an, dass die (normierten) Eigenfunktionen $Ψi (x,t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n- 1$ paarweise orthogonal zueinander sind und zeigen, dass dann auch $Ψn(x,t)$ orthogonal zu allen $Ψi(x,t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n - 1$ ist, d.h. dass

wobei $k ∈ {1,2,...,n- 1 }$ beliebig. Wir führen diese Rechnung nun aus. Mit (9.270) ergibt sich

Nach Voraussetzung sind die (normierten) Eigenfunktionen $Ψi(x,t)$ , $i$ = 1, 2, ..., $n- 1$ paarweise orthogonal zueinander und demzufolge ist

Damit folgt aus (C.3)

$□$

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