D Entwicklung einer Dreiecksfunktion

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Anhang D
Entwicklung einer Dreiecksfunktion

Wir betrachten ein Teilchen im Potentialtopf, welches sich zur Zeit $t = 0$ in einem Zustand $ψ (x,0)$ befindet, welcher durch eine (normierte) Dreiecksfunktion beschrieben werden kann (siehe Abb. D.1)

Abb. D.1: Der Zustand eines Teilchens im Potentialtopf wird zur $t = 0$ durch eine Dreiecksfunktion beschrieben.

Das Ziel ist es nun diesen Zustand entsprechend dem Satz 9.5 nach den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators des Teilchens im Potentialtopf zu entwickeln. Diese sind nach (9.128) gegeben durch

wobei

Nach Satz 9.5 gilt

Wir berechnen nun für unser Beispiel die Entwicklungskoeffizienten $cn$ . Es ergibt sich mit (D.1) und (D.3)

Einsetzen in (D.4) ergibt für die Wellenfunktion $ψ(x,0)$ zur Zeit $t = 0$ die folgende Entwicklung

Den Zeitverlauf der Wellenfunktion $ψ(x,t)$ ergibt sich nun aus der bekannten Zeitabhängigkeit der stationären Zustände $ψn(x,t)$ (D.2). Wir erhalten damit die folgende Lösung

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