F Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

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Anhang F
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

In Abschnitt 11.1 benützten wir den Laplace-Operator $Δ = ∂2∕∂x2 + ∂2∕∂y2 + ∂2∕∂z2$ in Kugelkoordinaten, d.h. in der Darstellung (siehe Gl. (11.7))

In diesem Abschnitt nehmen wir nun diese Umrechnung des Laplace-Operators von kartesischen zu Kugelkoordinaten vor. Dazu verwenden wir die folgenden Transformationsregeln

bzw. die Umkehrung

Wir gehen nun schrittweise vor, indem wir als erstes die erste Ableitung von $ψ = ψ (r,φ,ϑ,t)$ nach $x$ , dann die zweite Ableitung von $ψ$ nach $x$ und anschliessend die entsprechenden Ableitungen für $y$ und $z$ bestimmen.

Erste Ableitung nach $x$

Mit

erhalten wir
Zweite Ableitung nach $x$
Für die zweite Ableitung von $ψ$ nach $x$ ergibt sich mit (F.12)
Erste Ableitung nach $y$

Mit

erhalten wir
Zweite Ableitung nach $y$
Für die zweite Ableitung von $ψ$ nach $y$ ergibt sich mit (F.18)
Erste Ableitung nach $z$

Mit

erhalten wir
Zweite Ableitung nach $z$
Für die zweite Ableitung von $ψ$ nach $z$ ergibt sich mit (F.24)

Der Laplace-Operator $Δ$ in Kugelkoordinaten entspricht nun der Summe der Ausdrücke (F.13), (F.19) und (F.25). D.h. es gilt

Um die Formelschlacht ein bisschen übersichtlicher zu gestalten, verzichten wir auf das direkte Einsetzen und vereinfachen in der Summe (F.13) + (F.19) + (F.25) die Ausdrücke, welche nur die zweite Ableitung nach $r$ , $ϑ$ oder $φ$ enthalten, Ausdrücke, welche nur die erste Ableitung nach $r$ , $ϑ$ oder $φ$ enthalten oder Ausdrücke, welche nur eine gemischte Ableitung nach $r$ und $ϑ$ , $r$ und $φ$ oder $ϑ$ und $φ$ enthalten, separat:

Ausdrücke mit zweiter Ableitung nach $r$
Ausdrücke mit zweiter Ableitung nach $ϑ$
Ausdrücke mit zweiter Ableitung nach $φ$
Ausdrücke mit erster Ableitung nach $r$
Ausdrücke mit erster Ableitung nach $ϑ$
Ausdrücke mit erster Ableitung nach $φ$
Ausdrücke mit gemischter Ableitung nach $r$ und $ϑ$
Ausdrücke mit gemischter Ableitung nach $r$ und $φ$
Ausdrücke mit gemischter Ableitung nach $ϑ$ und $φ$

Mit den Vereinfachungen i) - ix) ergibt sich für die Summe (F.13) + (F.19) + (F.25), d.h. für den Laplace-Operator $Δ$ (F.26) in Kugelkoordinaten das folgende Resultat

Dieser Ausdruck stimmt mit (F.1) überein, womit die Richtigkeit von (F.1) gezeigt ist.

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Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten