Jeder Körper bei einer endlichen Temperatur emittiert elektromagnetische
Strahlung. Typische Beispiele dafür sind heisse Körper, bei einigen 1000 K, wie die
Sonne oder die Glühwendel einer Glühbirne, die Strahlung im sichtbaren
Frequenzbereich emittieren. Aber auch kältere Objekte emittieren Strahlung: Zum
Beispiel bei Raumtemperatur (300 K) vornehmlich Infrarotstrahlung oder nahe dem
absoluten Nullpunkt der Temperaturskala (
4 K) Mikrowellenstrahlung. Daher
spielt die allgegenwärtige thermische Strahlung eine wichtige Rolle in Wissenschaft
und Technik.
Die elektromagnetische Strahlung entsteht dabei durch thermisch angeregte
Schwingungen von Ladungen (Elektronen, Atomkerne, Ionen) im betrachteten
Körper. In einem Festkörper sind die Schwingungen der vielen Freiheitsgrade
(Grössenordnung ) sehr stark gekoppelt, was zu einem kontinuierlichen
Strahlungsspektrum führt. Die Form des Strahlungsspektrums hängt, wie wir sehen
werden, in guter Näherung nur von der Temperatur
und der Dimension (1D, 2D,
3D) des Körpers ab, nicht aber von seiner detaillierten Struktur oder seinen
chemischen Eigenschaften. Um den Einfluss der Dimensionalität des Körpers auf das
Spektrum zu untersuchen, werden wir zuerst relativ kalte eindimensionale (siehe
Abschnitt 5.3) und dann heisse dreidimensionale Körper betrachten (siehe
Abschnitt 5.4.7).
Zur Entwicklung der Quantenmechanik hat die Untersuchung der Wärmestrahlung wichtige Beiträge geliefert, da das charakteristische Spektrum der Strahlung mit klassischen Mitteln nicht korrekt beschrieben werden kann. Eine genaue Erklärung der Form des Spektrums wurde erst durch Max Planck um 1900 unter Beachtung der quantenmechanischen Eigenschaften des Lichts gefunden.
Wir betrachten einen Körper der Temperatur in einem abgeschlossenen
Hohlraum, dessen Wände elektromagnetische Strahlung jeder Frequenz unter jedem
Winkel verlustfrei reflektieren (ideale Spiegel) (siehe Abb. 5.1 mit geschlossenem
Shutter).
Trifft ein vom Körper emittierter Strahl nach einigen Reflexionen wieder auf den Körper
und wird dort ganz oder teilweise absorbiert, so ist die emittierte gleich der absorbierten
Strahlungsleistung und der Körper verändert seine Temperatur nicht. Dieser stationäre
Zustand1 wird als
Strahlungsgleichgewicht bezeichnet. Dabei hat das elektromagnetische Feld im Hohlraum eine spektrale
Energiedichte2
, die nur von der Temperatur abhängt. Für die Strahlungsenergie pro Volumen
im Frequenzbereich zwischen
und
gilt (für genauere Ausführungen wird
auf weiterführende Literatur [2] verwiesen)
wobei wir verwendet haben, dass für die elektrische Feldstärke , die elektrische
Flussdichte
, die magnetische Feldstärke
und die magnetische Flussdichte
(im Vakuum) die folgenden Zusammenhänge gelten
,
und
. Weiter erfüllt die Hohlraumstrahlung die folgenden
Eigenschaften:
Zusammenfassend können wir sagen:
Die spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung ist homogen und isotrop
und hängt nur von der Frequenz
und der Temperatur
ab.
Ein idealer schwarzer Strahler ist ein Körper, der sämtliche auftreffende
elektromagnetische Strahlung jeder Frequenz vollständig absorbiert
(Absorptionskoeffizient ) und nichts reflektiert (Reflexionskoeffizient
). Diese idealisierte Betrachtung ist in der Natur nur näherungsweise
realisiert, da bei realen Körpern die Absorption und Reflexion typischerweise eine
merkbare Frequenzabhängigkeit zeigt. Trotzdem lassen sich die charakteristischen
Eigenschaften von thermischen Strahlern unter dieser Näherung gut beschreiben.
Unter der Annahme, dass ein idealer schwarzer Strahler realisiert ist, gehen
Materialeigenschaften nicht in dessen spektrale Energiedichte ein und
hängt nur von der Temperatur ab und ist zudem homogen und isotrop.
Ein weitgehend idealer schwarzer Körper lässt sich gut durch den in Abschnitt 5.1 besprochenen Hohlraum realisieren. Wenn wir den Hohlraum mit einer kleinen Öffnung versehen (siehe Abb. 5.1), können wir die austretende Strahlung nutzen, um die Energiedichte der Strahlung innerhalb des Körpers zu charakterisieren. Dabei soll die Öffnung so klein sein, dass sich die Energiedichte im Hohlraum nicht oder nur sehr langsam ändert. Gleichzeitig kann von aussen eintretende Strahlung die Energie im Hohlraum nur geringfügig ändern.
Zunächst berechnen wir die spektrale Energiedichte eines eindimensionalen
schwarzen Strahlers. Dieser Fall ist besonders einfach und lässt uns erste Einsichten
in die Eigenschaften der thermischen Strahlung gewinnen.
Wir betrachten ein Rohr der Länge mit Durchmesser
bei einer
festen Temperatur
(siehe Abb. 5.2). Alle Berechnungen, die wir im folgenden
anstellen werden, sind nur solange korrekt, als dass die betrachteten Wellenlängen
diese Bedingungen erfüllen. Ein solcher eindimensionaler schwarzer Strahler ist zum
Beispiel realisiert, wenn man ein typisches Koaxialkabel mit
und
einigen Metern Länge auf Temperaturen von flüssigem Helium
abkühlt.
Am Ende eines solchen Kabels lässt sich dann das Schwarzkörperspektrum der
thermischen Strahlung messen.
Die Energie innerhalb des eindimensionalen schwarzen Strahlers wird in
elektromagnetischen Eigenschwingungen (Moden) gespeichert. Zur Berechnung der
spektralen Energiedichte werden wir nun folgendermassen vorgehen: Wir
bestimmen die Form der Eigenschwingungen (Moden), ihre Anzahl und die Energie
pro Mode und daraus die spektrale Energiedichte.
Zur Bestimmung der Eigenschwingungen ist die Wellengleichung für die elektrische
Feldstärke in einer Dimension zu lösen
Wir setzen für die elektrische Feldstärke stehende, harmonische
Wellen an
und erhalten daraus Lösungen der Form
mit der Dispersionsrelation
, wobei
der Wellenzahl
entspricht. Mit den Randbedingungen
und
erhalten wir die
Resonanzbedingung
Mit Hilfe der Dispersionsrelation und den Beziehungen
und
ergibt sich
wobei die Wellenlänge mit dem Index versehen wird, um darauf hinzuweisen, dass
die Wellenlänge vom Modenindex abhängt. Entsprechend erhalten wir für die
j-abhängige Frequenz
Dabei ist der Frequenzabstand zwischen benachbarten Moden konstant
Das Modenspektrum (siehe Abb. 5.3(b)) besteht also aus einer unendlichen Folge von äquidistanten Moden.
Die Anzahl der Moden im Frequenzbereich zwischen zwischen
und
der maximalen Frequenz
ergibt sich durch Division von
durch den
Frequenzabstand der Moden (5.6)
Die Anzahl der Moden ist also linear in der Frequenz
. Daraus erhalten wir
für die spektrale Modendichte
(
ist die Anzahl der Moden im
Frequenzbereich zwischen
und
)
Wir erhalten also in einer Dimension eine konstante spektrale Modendichte , d.h. gleich viele Moden in jedem Frequenzintervall.
Die spektrale Energiedichte lässt sich nun berechnen, indem die spektrale
Modendichte
mit der Energie pro Mode
multipliziert und durch die Länge
des Rohrs
dividiert wird.
Klassisch ist die Energie pro Mode statistisch durch das Äquipartitionsprinzip
bestimmt, das besagt, dass im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur
im
Mittel jeder Freiheitsgrad die Energie
besitzt. Wenn wir pro Mode 2
Freiheitsgrade (horizontale und vertikale Polarisation der elektromagnetischen
Strahlung) betrachten, ergibt sich pro Mode eine Energie von
Somit ergibt sich mit (5.8) und (5.9) eine konstante frequenzunabhängige Energiedichte
Dies ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz in einer Dimension. Es steht jedoch im
Widerspruch mit den experimentellen Beobachtungen: Das Integral
über das gesamte Spektrum, d.h. die Gesamtenergiedichte, divergiert. Dieses
theoretische Phänomen wurde von Paul Ehrenfest als Ultraviolettkatastrophe
bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Ultraviolettkatastrophe nicht eine spezifische
Eigenschaft des Modells ist, das wir hier betrachtet haben. Der Grund der
Ultraviolettkatastrophe liegt vielmehr in der Annahme der Äquipartition, die aus der
klassischen Mechanik folgt und zum Beispiel für die Moleküle eines Gases im
thermischen Gleichgewicht gilt.
Schon um 1896 herum existierten genaue Messungen der spektralen Energiedichte, die von heissen Körpern emittiert wird (Otto Lummer und Wilhelm Wien). Das Rayleigh-Jeans-Gesetz stimmt mit den Resultaten für sehr tiefe Frequenzen gut überein, versagt aber für hohe Frequenzen.
In den Jahren unmittelbar vor der Jahrhundertwende gelangte Planck zu einer Theorie, welche die von Lummer gemessene spektrale Energiedichte erklären konnte. Sie beruht auf zwei grundlegenden Erkenntnissen:
Die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion gilt, wie wir später erklären werden, für Bosonen, d.h. Teilchen mit ganzzahligem Spin, zu denen das Photon gehört.
Für die quantenmechanische Energie pro Mode erhalten wir daher
Daraus ergibt sich nun die spektrale Energiedichte , das Plancksche
Strahlungsgesetz in einer Dimension (siehe Abb. 5.4(b))
Als nächstes betrachten wir Grenzfälle der spektralen Energiedichte bei kleinen
Frequenzen bzw. hohen Temperaturen () und bei hohen Frequenzen
bzw. kleinen Temperaturen (
).
Unter der Bedingung lässt sich die Exponentialfunktion in eine
Taylorreihe entwickeln
Daraus erhalten wir die für eindimensionale Körper charakteristische konstante Energiedichte
Wir erhalten also für kleine Frequenzen bzw. hohe Temperaturen aus dem Planckschen Strahlungsgesetz das bekannte Rayleigh-Jeans-Gesetz (1D) zurück. Offenbar ist die klassische Theorie als Grenzfall in der Planckschen Theorie enthalten.
Für gilt
, was zur folgenden Näherung führt (Wiensches
Strahlungsgesetz (1D))
D.h. die Energiedichte fällt exponentiell mit steigender Frequenz. Dieser Effekt ist durch die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion begründet, die die Besetzung von Moden bei hohen Frequenzen exponentiell unterdrückt, was insbesondere das Auftreten der Ultraviolettkatastrophe verhindert.
In Abb. 5.5(a) ist das Plancksche Strahlungsgesetz zusammen mit den Grenz-fällen Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz für einen eindimensionalen schwarzen Strahler dargestellt.
Die Gesamtenergiedichte des schwarzen Strahlers pro Länge erhalten wir durch
Integration der spektralen Energiedichte
über das Spektrum, d.h. über den
gesamten Frequenzbereich. Mit (5.13) ergibt sich:
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass . Wir
erhalten somit für die Gesamtenergiedichte
ein Ergebnis, das nur von der
Temperatur
abhängt. Dieses Gesetz wird Stefan-Boltzmann-Gesetz (1D)
genannt. In Abb. 5.5(b) ist die charakteristische quadratische Abhängigkeit der
Gesamtstrahlungsleistung von der Temperatur des Körpers dargestellt. Man
bemerke, dass die Gesamtstrahlungsleistung ausser von der Temperatur nur von
Naturkonstanten abhängt.
Analog zum eindimensionalen schwarzen Strahler (siehe Abschnitt 5.3) berechnen wir nun die spektrale Energiedichte für den dreidimensionalen Fall. Der dreidimensionale Fall beschreibt alle Körper deren Abmessungen in allen drei Raumrichtungen viel grösser sind als die betrachteten Wellenlängen. Dieser Fall ist bei Temperaturen oberhalb der Raumtemperatur quasi für alle Objekte erfüllt. Insbesondere beschreiben die in diesem Abschnitt berechneten Eigenschaften des dreidimensionalen schwarzen Strahlers das Spektrum der Sonne und anderer heisser Objekte.
Wir betrachten einen würfelförmigen Hohlraum der Kantenlänge (siehe
Abb. 5.6). Die Vorgehensweise ist analog zu der im eindimensionalen, weshalb wir
auf einige Herleitungen verzichten werden.
Analog zum eindimensionalen Fall erhalten wir als Resonanzbedingung für eine
stehende Welle entlang einer der drei Raumrichtungen mit Modenindex
und
, wobei
der Wellenzahl entlang einer Dimension
entspricht. Für eine stehende Welle entlang einer beliebigen Richtung ergibt sich die
Resonanzbedingung3
wobei der Wellenvektor ist und wir analog zum eindimensionalen
Fall zur Umformung die Beziehungen
(Dispersionsrelation),
und
verwendet haben.
Zur Berechnung der Anzahl der möglichen Moden betrachten wir den Raum der
ganzen positiven Zahlen ,
,
(siehe Abb. 5.7). Der Abstand des
Gitterpunktes (
,
,
) vom Ursprung beträgt unter Verwendung
von (5.18)
Die Anzahl Moden deren Frequenz zwischen und
liegt, entspricht somit der
doppelten4
Anzahl der Gitterpunkte innerhalb eines
Kugeloktanten5
vom Radius
. Für den grössten Teil der von einem schwarzen Körper
emittierten Strahlung sind die Frequenzen
sehr gross im Vergleich zur
Kantenlänge
, d.h.
.
Die Zahlen ,
,
sind damit so gross, dass das Zahlengitter als Kontinuum
betrachtet werden kann. Damit erhalten wir für die Anzahl der Moden
im
Frequenzbereich zwischen
und
Daraus ergibt sich für die spektrale Modendichte (
ist die Anzahl der
Moden im Frequenzbereich zwischen
und
)
Wir erhalten somit in drei Dimensionen eine spektrale Modendichte, die quadratisch von der Frequenz abhängt (siehe Abb. 5.8(a)). Je höher die betrachtete Frequenz wird, desto grösser wird die Anzahl der Moden. Die zusätzlichen Moden liegen im Raum der Modenindizes auf eine Kugelschale deren Oberfläche quadratisch mit der Frequenz steigt und so die charakteristisch anwachsende Modenzahl bestimmt.
Die spektrale Energiedichte , d.h. das Plancksche Strahlungsgesetz in drei
Dimensionen, ergibt sich nun aus der Multiplikation der spektralen Modendichte
mit der Energie pro Mode
dividiert durch das Volumen des
Körpers
. Unter Verwendung von (5.12) und (5.21) ergibt sich (siehe
Abb. 5.8(b))
Wie im eindimensionalen Fall untersuchen wir das Grenzverhalten der spektralen
Energiedichte bei kleinen Frequenzen bzw. hohen Temperaturen (
)
und bei hohen Frequenzen bzw. kleinen Temperaturen (
).
Mit der Entwicklung (5.14) erhalten wir aus (5.22) das Rayleigh-Jeans-Gesetz (3D)
Hier zeigt sich der charakteristische quadratische Anstieg der Energiedichte mit
bei niedrigen Frequenzen.
Mit ergibt sich aus (5.22) das Wiensche Strahlungsgesetz
(3D)
das auch in diesem Fall auf Grund der Bose-Einstein-Verteilung eine für hohe Frequenzen exponentiell abfallende Energiedichte zeigt.
In Abb. 5.9(a) ist das Plancksche Strahlungsgesetz zusammen mit den Grenz-fällen Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz für einen dreidimensionalen schwarzen Strahler dargestellt.
Nun berechnen wir wie im eindimensionalen Fall aus der spektralen Energiedichte
das Stefan-Boltzmann-Gesetz in drei Dimensionen. Die Gesamtenergiedichte
des schwarzen Strahlers pro Volumen erhalten wir dabei wieder durch Integration
der spektralen Energiedichte
über das Spektrum, d.h. über den gesamten
Frequenzbereich. Mit (5.22) ergibt sich (siehe Abb. 5.9(b))
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass . Somit
erhalten wir, dass die Gesamtenergiedichte
eines dreidimensionalen schwarzen
Strahlers proportional zu
ist und wie bereits diskutiert von keinen weiteren
Eigenschaften des Körpers abhängt.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an bei welcher Wellenlänge ein nach
dem Planckschen Strahlungsgesetz (5.22) strahlender schwarzer Körper in
Abhängigkeit seiner Temperatur
die maximale Strahlung emittiert. Wir haben
bisher die Energiedichte
eines schwarzen Strahlers als Funktion der Frequenz
betrachtet. Zur Bestimmung von
benötigen wir die Energiedichte als
Funktion der Wellenlänge. Zur Umschreibung nutzen wir die Beziehung
und erhalten aus (5.22) für die Energiedichte
, d.h. die
Strahlungsenergie pro Volumen
im Wellenlängenbereich zwischen
und
Das Maximum erhalten wir nun aus der Bedingung
Für die Ableitung nach der Wellenlänge erhalten wir
Nullsetzen und Multiplikation mit ergibt
Mit der Abkürzung folgt
Diese transzendente Gleichung hat neben der Lösung die für uns interessante
Lösung
. Daraus ergibt sich das Wiensche Verschiebungsgesetz
In analoger Weise kann man das Wiensche Verschiebungsgesetz auch für die Frequenz
berechnen, d.h. die Frequenz bestimmen für die ein nach dem Planckschen
Strahlungsgesetz (5.22) strahlender schwarzer Körper in Abhängigkeit seiner
Temperatur
die maximale Strahlung emittiert
In Abb. 5.10 ist das Plancksche Strahlungsgesetz gemeinsam mit seinen Grenz-fällen (Rayleigh-Jeans-Gesetz und Wiensches Strahlungsgesetz) aufgetragen (siehe Abb. 5.9) und zusätzlich dazu das Wiensche Verschiebungsgesetz, das das Maximum des Planckschen Strahlungsgesetzes angibt.
Bisher haben wir die spektrale Energiedichte des elektromagnetischen Feldes in einem
schwarzen Strahler betrachtet und dafür das Plancksche Strahlungsgesetz (5.22)
erhalten. Das Ziel ist es nun die gesamte von einem schwarzen Strahler emittierte
Strahlungsleistung zu bestimmen. Dazu repetieren wir kurz die Definition der
spektralen Energiedichte
und definieren darauf aufbauend weitere Begriffe und
schlussendlich die Strahlungsleistung
.
Definitionen (siehe Abb. 5.11).
Als erstes berechnen wir die emittierte Energie aus der Energiedichte
. Der Zusammenhang ist der folgende
wobei für das projizierende Flächenelement gilt
Dies folgt aus dem Lambertschen Gesetz, das besagt, dass die unter einem Winkel
von einem Flächenelement
emittierte Energie proportional zu
ist oder in
anderen Worten ausgedrückt: Nur die zur Ausbreitungsrichtung senkrechte
Komponente des Flächenelements
ist relevant (siehe Abb. 5.11). Daraus ergibt
sich für die emittierte Leistung
Um nun die gesamte Strahlungsleistung eines Flächenelement zu berechnen,
integrieren wir über den gesamten Frequenzbereich und den Raumwinkel. Ein
Flächenelement kann nicht in den vollen, sondern nur in den halben Raumwinkel
strahlen, weshalb nur über den halben Raum integriert wird. Dabei verwenden wir,
dass der Raumwinkel gegeben ist durch
.
Somit haben wir aus der Energiedichte die totale pro Flächenelement des
schwarzen Strahlers abgestrahlte Leistung erhalten. Diese ergibt sich im
Wesentlichen durch Multiplikation des Stefan-Boltzmann-Gesetzes (5.25) mit
der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts und einem Geometriefaktor
.
Wir berechnen nun die gesamte Strahlungsleistung der Sonne und daraus die
Strahlungsintensität6
, die wir auf der Erde wahrnehmen. Dabei nehmen wir an, dass die Sonne
näherungsweise einem kugelsymmetrischen schwarzen Strahler entspricht. Dass
diese Annahme gut erfüllt ist, ist aus dem Vergleich aus dem gemessenen
Strahlungsspektrum der Sonne mit dem berechneten Strahlungsspektrum eines
schwarzen Strahlers derselben Temperatur zu entnehmen (siehe Abb. 5.12). Hier
zeigt sich, dass das auf der Erde wahrgenommene Spektrum im Wesentlichen durch
die in der Atmosphäre vorkommende Reflexion und Absorption des Lichts verändert
ist.
Wir erhalten mit (5.36) für die gesamte von einem kugelsymmetrischen schwarzen
Strahler mit Radius ausgesandte Strahlungsleistung
Nun berechnen wir daraus die Strahlungsintensität , die wir auf der Erde
wahrnehmen. Mit (5.37) ergibt sich
wobei dem Abstand zwischen der Sonne und der Erde entspricht. Mit den in
Tab. 5.1 aufgelisteten Daten zur Sonne, erhalten wir für die Gesamtstrahlungsleistung
der Sonne und für die Intensität
der Sonne auf der Erde mit (5.37)
und (5.38)
Sonnentemperatur ![]() | 5778 K |
Mittlerer Sonnenradius ![]() | ![]() |
Mittlerer Abstand Sonne - Erde ![]() | ![]() |
Die in Abschnitt 5.4.6 hergeleitete Formel (5.36) für die Strahlungsleistung eines
Körpers gilt nur für schwarze Strahler. In der Realität besitzen jedoch die wenigsten
Materialien die Eigenschaften eines schwarzen Strahlers. Für einen realen Strahler gilt
für die emittierte Strahlungsleistung
wobei die Emissivität ist und Werte zwischen
und
annehmen kann (für
einen schwarzen Strahler gilt
).
ist die
Stefan-Boltzmann-Konstante und
die Fläche des Strahlers.
Typische Werte der Emissivität für verschiedene Materialien sind in Tab. 5.2
zusammengestellt.
Material | Temperatur ![]() ![]() | Emissivität ![]() |
Buchenholz | 70 | 0.91 |
Wasser | 10 - 50 | 0.91 |
Eis | -9.6 | 0.918 |
Papier | 95 | 0.89 |
Eisen (poliert) | -73 - 727 | 0.06 - 0.25 |
Gold (oxidiert) | -173 - 827 | 0.013 - 0.070 |
Kupfer (oxidiert) | 130 | 0.725 |
Wir haben gesehen, dass bei der Berechnung der spektralen Energiedichte für einen schwarzen Strahler die klassische Physik versagt (Ultraviolettkatastrophe) und die quantenmechanischen Eigenschaften des Lichts benötigt werden, was zum Planckschen Strahlungsgesetz führt. Jedoch ist die klassische Theorie als Grenzfall (kleine Frequenzen) in der Planckschen Theorie enthalten (Rayleigh-Jeans-Gesetz). Zum Abschluss des Kapitels hier nochmals die wichtigsten Resultate:
Eindimensionaler schwarzer Strahler
Dreidimensionaler schwarzer Strahler