H Berechnung diverser Kommutatorrelationen

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Anhang H
Berechnung diverser Kommutatorrelationen

Am Ende des Abschnitts 11.1 führen wir diverse Kommutatorrelationen auf, dessen Berechnungen wir an dieser Stelle durchführen. Auf die Herleitung der Relationen (11.12), (11.13) und (11.14) wurde bereits in Abschnitt 9.3.3 eingegangen, weshalb wir uns hier auf die Relationen in (11.15) und (11.16) beschränken, d.h. wir zeigen die Richtigkeit der folgenden fünf Kommutatorrelationen

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Beweis:

Wir beweisen nun einzeln die Richtigkeit der Ausdrücke (H.1) - (H.5) durch explizites Ausrechnen. Dabei treten drei Ableitungen wiederholt auf, weshalb wir sie hier zu Beginn aufführen

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Die beiden Operatoren $ˆ⃗L2$ und $Lˆx$ sind nach (11.10) und (11.9) gegeben durch

Damit resultiert für die Anwendung des Produkts $ˆ⃗L2 ˆL x$ auf eine beliebige Wellenfunktion $ψ = ψ (r,ϑ,φ, t)$

Andererseits ergibt sich

Die Ausdrücke in (H.11) und (H.12) sind identisch und daher erhalten wir
Die beiden Operatoren $ˆ⃗2 L$ und $ˆ Ly$ sind nach (11.10) und (11.9) gegeben durch

Damit resultiert für die Anwendung des Produkts $ˆ 2 ⃗L ˆLy$ auf eine beliebige Wellenfunktion $ψ = ψ (r,ϑ,φ, t)$

Andererseits ergibt sich

Die Ausdrücke in (H.15) und (H.16) sind identisch und daher erhalten wir
Die beiden Operatoren $ˆ2 ⃗L$ und $Lˆz$ sind nach (11.10) und (11.9) gegeben durch

Damit erhalten wir für die Anwendung des Kommutators $[ˆ⃗L2, ˆLz]$ auf eine beliebige Wellenfunktion $ψ = ψ(r,ϑ,φ,t)$
Die beiden Operatoren $ˆH$ und $ˆ⃗L2$ sind nach (11.8) und (11.10) gegeben durch

Damit resultiert für die Anwendung des Produkts $Hˆˆ⃗L2$ auf eine beliebige Wellenfunktion $ψ = ψ (r,ϑ,φ, t)$

Ausführung der Ableitung liefert mit Hilfe von (H.6), (H.7) und (H.8)

Andererseits ergibt sich

Die Ausdrücke in (H.23) und (H.24) sind identisch und daher erhalten wir
Die beiden Operatoren $ˆH$ und $ˆLz$ sind nach (11.8) und (11.9) gegeben durch

Damit erhalten wir für die Anwendung des Kommutators $[ ˆH,Lˆz ]$ auf eine beliebige Wellenfunktion $ψ = ψ(r,ϑ,φ,t)$

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