I Mathematische Funktionen

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Anhang I
Mathematische Funktionen

In Kapitel 10 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator sowie in Kapitel 11 beim Lösen der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom treten verschiedene aus der Mathematik bekannte Differentialgleichungen auf. An dieser Stelle fassen wir die Eigenschaften der Lösungen dieser Differentialgleichungen zusammen.

I.1 Hermite-Polynome

Die Hermite-Polynome $Hn(x)$ treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators auf (siehe Abschnitt 10.2.4) und sind nach (10.45) gegeben durch

Eigenschaften

Differentialgleichung
Rekursionsformeln
Erzeugende Funktion
Explizite Darstellung
Orthogonalitätsrelation
Beispiele

I.2 Legendre-Polynome

Die Legendre-Polynome $Pl(x )$ treten als Basis für die zugeordneten Legendre-Polynome (siehe Abschnitt I.3) auf und sind nach (11.34) gegeben durch

Eigenschaften

Differentialgleichung
Rekursionsformeln
Erzeugende Funktion
Explizite Darstellung

wobei
Orthogonalitätsrelation
Beispiele

I.3 Zugeordnete Legendre-Polynome

Die zugeordneten $ml Pl (x )$ treten im Zusammenhang mit den Lösungen für die Polarkomponente $Θl,ml(ϑ)$ der Wellenfunktion $un,l,ml(r,ϑ,φ )$ des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.1) und sind nach (11.30) gegeben durch

wobei $Pl(x)$ die Legendre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.2).

Eigenschaften

Differentialgleichung
Rekursionsformeln
Erzeugende Funktion
Orthogonalitätsrelation
Beispiele

I.4 Laguerre-Polynome

Die Laguerre-Polynome $Ln (x )$ treten als Basis für die zugeordneten Laguerre-Polynome (siehe Abschnitt I.5) auf und sind gegeben durch

Eigenschaften

Differentialgleichung
Rekursionsformeln
Erzeugende Funktion
Explizite Darstellung
Orthogonalitätsrelation
Beispiele

I.5 Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten Laguerre-Polynome $Lmn (x)$ treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den radialen Anteil $Rn,l(r)$ der Wellenfunktion $un,l,ml(r,ϑ,φ )$ des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.3) und sind gegeben durch

wobei $Ln (x )$ die Laguerre-Polynome sind (siehe Abschnitt I.4).

Eigenschaften

Differentialgleichung
Erzeugende Funktion
Orthogonalitätsrelation
Explizite Darstellung
Beispiele

I.6 Kugelfunktionen

Die Kugelfunktionen $Y (ϑ,φ) l,ml$ treten im Zusammenhang mit den Lösungen für den winkelabhängigen Anteil der Wellenfunktion $un,l,ml(r,ϑ,φ)$ des Wasserstoffatoms auf (siehe Abschnitt 11.2.2) und sind nach (11.38) gegeben durch

Eigenschaften

Differentialgleichung
Orthogonalitätsrelation
Vollständigkeit
Additionstheorem

wobei

Dabei entspricht $Θ$ dem Winkel zwischen den beiden Richtungen $(ϑ,φ )$ und $′ ′ (ϑ ,φ )$ .
Beispiele