Anhang J
Hamilton-Funktion im Magnetfeld

In Abschnitt 12.3 haben wir die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Ladung q  und der Masse m  im Magnetfeld B⃗  kennengelernt. Sie lautet (siehe Gl. (12.15))

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Wir geben in diesem Kapitel eine Motivation dieser Hamilton-Funktion, indem wir die erweiterte Hamilton-Funktion

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für ein Teilchen der Ladung q  und der Masse m  im elektromagnetischen Feld, welches durch die elektrische Feldstärke ⃗
E  und die magnetische Flussdichte ⃗
B  charakterisiert ist, auf die bekannte Newtonsche Bewegungsgleichung

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zurückführen. Dabei ist ϕ  das elektrische Potential und es gelten zwischen der elektrischen Feldstärke ⃗
E  , der magnetische Flussdichte ⃗
B  , dem elektrischen Potential ϕ  und dem Vektorpotential ⃗
A  die folgenden Zusammenhänge

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Wir beginnen mit der Aufstellung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

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wobei x1 = x  , x2 = y  , x3 = z  . Aus (J.6) ergibt sich für die zweite Ableitung von xi  nach der Zeit

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Damit erhalten wir

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Mit der Vektoridentität

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ergibt sich

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und damit

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Somit haben wir die Hamilton-Funktion (J.2) auf die Newtonsche Bewegungsgleichung (J.3) zurückgeführt.