In Abschnitt 12.3 haben wir die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Ladung
und der Masse
im Magnetfeld
kennengelernt. Sie lautet (siehe
Gl. (12.15))
Wir geben in diesem Kapitel eine Motivation dieser Hamilton-Funktion, indem wir die erweiterte Hamilton-Funktion
für ein Teilchen der Ladung und der Masse
im elektromagnetischen Feld,
welches durch die elektrische Feldstärke
und die magnetische Flussdichte
charakterisiert ist, auf die bekannte Newtonsche Bewegungsgleichung
zurückführen. Dabei ist das elektrische Potential und es gelten zwischen der
elektrischen Feldstärke
, der magnetische Flussdichte
, dem elektrischen
Potential
und dem Vektorpotential
die folgenden Zusammenhänge
Wir beginnen mit der Aufstellung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
wobei ,
,
. Aus (J.6) ergibt sich für die zweite Ableitung von
nach der Zeit
Damit erhalten wir
Mit der Vektoridentität
ergibt sich
und damit
Somit haben wir die Hamilton-Funktion (J.2) auf die Newtonsche Bewegungsgleichung (J.3) zurückgeführt.