12 Der Zeeman-Effekt

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Kapitel 12
Der Zeeman-Effekt

In diesem Kapitel befassen wir uns mit dem Einfluss eines externen Magnetfelds auf das Spektrum eines Atoms. Wir werden sehen, dass infolge dieser Beeinflussung die Entartung der Energieniveaus teilweise aufgehoben wird und als Folge davon die einzelnen Spektrallinien in mehrere Linien aufgespaltet werden. Dieser Effekt wird nach seinem Entdecker Pieter Zeeman Zeeman-Effekt genannt. 1902 erhielt er für diese Entdeckung gemeinsam mit Hendrik Antoon Lorentz den Nobelpreis in Physik.

Wir beginnen mit ein paar historischen Bemerkungen zur Entdeckung des Zeeman-Effekts. Anschliessend beschränken wir uns auf das Wasserstoffatom und betrachten ein semiklassisches Modell zur Beschreibung des Effekts, gefolgt von einer quantenmechanischen Behandlung. Am Ende des Kapitels steht die Zusammenfassung der Resultate und die Betrachtung des Zeeman-Effekts für das Spektrum des Wasserstoffatoms.

12.1 Historische Bemerkungen

Im Jahr 1862, also 25 Jahre vor der Entdeckung des Elektrons, untersuchte Michael Faraday in einem Experiment¹ die folgende Frage: Welchen Einfluss hat ein äusseres Magnetfeld auf das Linienspektrum, das von Gasflammen, die durch Alkali- und andere Salze gefärbt werden, emittiert wird? Das Auflösungsvermögen seines einfachen Prismenspektroskops genügte jedoch nicht, um einen Effekt zu finden.

Erst 1896 wurde das Experiment von Faraday von Zeeman wieder aufgegriffen. Mit seiner Messapparatur konnte er eine Verbreiterung der Spektrallinien nachweisen, die er folgendermassen deutete: Durch das äussere Magnetfeld kommt es zur Aufspaltung der einzelnen Linien in mehrere. Er war zudem in der Lage die Grössenordnung dieser Aufspaltung anzugeben.

Im selben Jahr² gab Lorentz eine Interpretation der Zeeman Aufspaltung. Er nahm an, dass in Atomen Teilchen der Ladung $q$ und der Masse $m0$ sich auf einer Kreisbahn mit einem bestimmten Radius $r0$ bewegen. Die Zentripetalbeschleunigung $aZ = r0ω2$ soll durch eine Zentripetalkraft $⃗F Z$ (unbekannten Ursprungs) erzeugt werden. Befindet sich nun dieses Atom in einem homogenen Magnetfeld $⃗ B$ , welches senkrecht zur Bahnrichtung der Ladung $q$ gerichtet ist, so wirkt auf diese die Lorentz-Kraft $⃗ FL$ in radialer Richtung nach aussen oder nach innen abhängig vom Umlaufsinn des Teilchens. Damit dieses auf seiner Bahn bleibt, muss im ersten Fall die Winkelgeschwindigkeit $ω$ verkleinert, im zweiten Fall vergrössert werden. Der Betrag der Lorentz-Kraft $F⃗L$ ist dabei gegeben durch

Es sei nun $ω$ die Winkelgeschwindigkeit ohne Magnetfeld und $ω + δω$ die Winkelgeschwindigkeit mit Magnetfeld. Die durch das Magnetfeld bewirkte Änderung $δω$ der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich durch Gleichsetzen des Betrags $|⃗FL|$ der Lorentz-Kraft mit der Änderung der Zentripetalkraft $δFZ$ , wobei $δFZ$ in erster Näherung gegeben ist durch

Gleichsetzen mit (12.1) liefert

woraus wir für die durch das Magnetfeld bewirkte Änderung $δω$ der Winkelgeschwindigkeit das folgende Resultat erhalten

Wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden, stimmt dieses Resultat mit dem semiklassischen Modell (siehe Abschnitt 12.2) und auch der rein quantenmechanischen Herleitung (siehe Abschnitt 12.3) überein.

Diese Interpretation des Zeeman-Effekts von Lorentz steht im engen Zusammenhang mit der Entdeckung, dass das Elektron ein Bestandteil des Atoms ist: Joseph John Thomson bestimmte 1897 aus der Ablenkung eines Elektronenstrahls im elektrischen und magnetischen Feld das Verhältnis von Ladung zu Masse. Er verglich sein Ergebnis mit dem Verhältnis $q∕m 0$ , das sich mit Hilfe der Interpretation von Lorentz aus der experimentellen Abschätzung der Zeeman-Aufspaltung $δω$ ergab und fand innerhalb der damals recht grossen Fehlerschranken Übereinstimmung. Seit jener Zeit weiss man, dass das Elektron ein Bestandteil des Atoms ist.

12.2 Semiklassisches Modell

Wie in der Einleitung des Kapitels erwähnt, beschränken wir uns im Folgenden auf die Behandlung des Wasserstoffatoms. Wir beginnen mit einer semiklassischen Behandlung. Dabei gehen wir vom Bohrschen Atommodell (siehe Kapitel 8) aus, indem wir annehmen, dass sich im Wasserstoffatom das negativ geladene Elektron auf einer Kreisbahn um den positiv geladenen Kern bewegt (siehe Abb. 12.1).

Abb. 12.1: Semiklassisches Modell des Zeeman-Effekts. Skizze eines Wasserstoffatoms: Ein Elektron umkreist den Kern auf einer Kreisbahn und ruft ein magnetisches Moment $⃗μ$ hervor.

Durch dieses kreisende Elektron wird ein Kreisstrom $I$ erzeugt, welcher ein magnetisches Moment $⃗μ$ antiparallel zur Flächennormalen $⃗n$ hervorruft

wobei $A$ die von der Kreisbahn eingeschlossene Fläche bezeichnet. Der Strom $I$ lässt sich durch die Elektronenladung $- e$ und die Umlauffrequenz $ν$ ausdrücken und die Fläche $A$ durch den Bahnradius $r$ . Es ergibt sich

Wir vergleichen diesen Ausdruck für das magnetische Moment $⃗μ$ mit dem Bahndrehimpuls $⃗ L$ des Elektrons

und erhalten

Das Verhältnis von magnetischem Moment $⃗μ$ zu Bahndrehimpuls $⃗L$ wird gyromagnetisches Verhältnis genannt und mit $γ$ bezeichnet

Das nächste Ziel ist die potentielle Energie $V$ des Elektrons in einem homogenen externen Magnetfeld $⃗B$ zu bestimmen. Sie ist gegeben durch

wobei $ϑ$ den Winkel zwischen magnetischem Moment $⃗μ$ und Magnetfeld $⃗ B$ bezeichnet. Demzufolge erreicht die potentielle Energie $V$ ihr Minimum für $ϑ = 0$ , d.h. wenn $⃗μ$ parallel zu $⃗B$ ausgerichtet ist und ihr Maximum für $ϑ = π$ , d.h. wenn $⃗μ$ antiparallel zu $⃗B$ ausgerichtet ist. Mit (12.8) erhalten wir für die potentielle Energie $V$ des Elektrons mit Bahndrehimpuls $⃗L$

Quantenmechanisch (siehe Abschnitt 11.2) ist die z-Komponente $Lz$ des Bahndrehimpulses $⃗L$ gegeben durch

wobei die magnetische Quantenzahl $ml$ nur die diskreten Werte $0$ , $± 1$ , $± 2$ , ... annehmen kann. Somit ergibt sich für die potentielle Energie $semi Vml$ des magnetischen Moments des Elektrons im Wasserstoffatom

wobei $-5 μB = eℏ ∕(2m ) = 5.79 ⋅10$ eV/T das Bohr-Magneton bezeichnet, wir den Index $ml$ eingeführt haben und der obere Index semi andeuten soll, dass unsere Herleitung semiklassisch erfolgte. $Vmselmi$ wird Zeeman-Energie genannt. Damit ergibt sich für die Energiewerte $Esenm,mil$ des Wasserstoffatoms (siehe Abschnitt 11.2.3) im homogenen externen Magnetfeld $⃗B$ die folgende Korrektur

wobei $ωL = eB ∕(2m )$ die Larmor-Frequenz bezeichnet und wir für die Energiewerte den zusätzlichen Index $m l$ eingeführt haben. Das bedeutet, dass durch ein homogenes externes Magnetfeld $⃗ B$ die durch die magnetische Quantenzahl $ml$ bewirkte $(2l + 1)$ -fache Entartung der Energiewerte $En$ aufgehoben wird (siehe Abb. 12.2).

Abb. 12.2: Zeeman-Effekt: Aufspaltung der $s$ -, $p$ -, $d$ -Energieniveaus des Wasserstoffatoms im homogenen externen Magnetfeld (Hinweis: Abbildung ist nicht massstabsgerecht).

Die $s$ -Niveaus ( $l = 0$ , $ml = 0$ ) werden durch das Magnetfeld nicht beeinflusst. Die $p$ -Niveaus ( $l = 1$ , $ml = 0$ , $± 1$ ) werden in drei und die $d$ -Niveaus ( $l = 2$ , $ml = 0$ , $± 1$ , $± 2$ ) in fünf Niveaus mit Abstand $Δ = μBB$ aufgespaltet.

12.3 Quantenmechanische Betrachtung

Wir starten mit der allgemeinen Hamilton-Funktion $H$ für ein Teilchen der Ladung $q$ und der Masse $m$ im Magnetfeld $⃗B$ (für eine Motivation verweisen wir auf Anhang J)

wobei $⃗A$ das sogenannte Vektorpotential bezeichnet. Mit $ˆ⃗p = (ℏ∕i)∇⃗$ erhalten wir für den entsprechenden Hamilton-Operator $Hˆ$ den folgenden Ausdruck

Wir verwenden nun (für die Fortsetzung des Buchs) die sogenannte Coulomb-Eichung³ $⃗∇ ⃗A = 0$ und erhalten

Wir kommen nun zum Spezialfall eines Elektrons (Ladung $q = - e$ ) im homogenen Magnetfeld $⃗B$ . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir $⃗B$ entlang der z-Achse, d.h. $⃗ B = (0,0,B )$ . Das entsprechende Vektorpotential $⃗ A$ können wir schreiben als

Einsetzen von (12.18) in (12.17) liefert für den Hamilton-Operator $Hˆ$ eines Elektrons im homogenen Magnetfeld

wobei wir im letzten Schritt benützt haben, dass $ˆ Lz = (x∂∕∂y - y∂ ∕∂x)$ .

Wir vergleichen die Grössenordnungen der Terme (1) und (2) des Hamilton-Operators $Hˆ$ von Elektronen in Atomen. Wir benützen dazu, dass $B = |⃗B | ~ 1$ T, $ˆ -34 ⟨Lz⟩ ~ ℏ ~ 10$ Js, $-19 e ~ 10$ C, $-31 m ~ 10$ kg, $-9 x,y ~ 10$ m und erhalten

Demzufolge können wir Term (2) gegenüber Term (1) für ein Elektron in Atomen unter dem Einfluss eines homogenen externen Magnetfelds vernachlässigen. Damit lautet der Hamilton-Operator $ˆ H$ für das Wasserstoffatom im homogenen externen Magnetfeld

Nach Abschnitt 11.3 sind die Wellenfunktionen $un,l,m (r,ϑ,φ ) l$ sowohl Eigenfunktionen des Hamilton-Operators $ˆ H0$ mit den Eigenwerten $2 En = - ER ∕n$ als auch des Operators $ˆ Lz$ mit den Eigenwerten $ℏml$ . Deshalb gilt

Folglich sind die Energiewerte $En,ml$ des Wasserstoffatoms im homogenen externen Magnetfeld gegeben durch

Dieses Resultat stimmt mit dem semiklassischen Resultat (12.14) überein.

12.4 Das Spektrum des Wasserstoffatoms im Magnetfeld (Auswahlregeln)

Wir betrachten nun den Effekt eines homogenen externen Magnetfelds auf das Spektrum des Wasserstoffatoms. Die semiklassische Behandlung (siehe Abschnitt 12.2) und die quantenmechanische Behandlung (siehe Abschnitt 12.3) haben gezeigt, dass die Existenz eines homogenen externen Magnetfelds die Aufspaltung der Energieniveaus des Wasserstoffatoms zur Folge hat. Diese Aufspaltung der Energieniveaus führt zu zusätzlichen Übergängen und damit zu zusätzlichen Spektrallinien im Spektrum des Wasserstoffatoms. Jedoch ist die Anzahl der Übergänge durch die sogenannten Auswahlregeln (siehe Abschnitt 15.3) beschränkt. Diese geben Auskunft, ob ein Übergang zwischen zwei Energieniveaus unter Emission oder Absorption eines Photons möglich ist oder nicht. Beim Wasserstoffatom lauten die Auswahlregeln: Der Übergang zwischen zwei Energieniveaus $En,l,m l$ und $E ′′ ′ n,l,m l$ des Wasserstoffatoms unter Emission oder Absorption eines Photons ist möglich, falls die Unterschiede der entsprechenden Quantenzahlen $′ Δn = n - n$ , $′ Δl = l - l$ und $′ Δml = ml - m l$ die folgenden Bedingungen erfüllen

Da der Abstand $Δ = μBB$ benachbarter Zeeman-Energieniveaus von den Quantenzahlen $n$ und $l$ unabhängig ist, spalten sich die Frequenzen der erlaubten Übergänge durch den Einfluss eines homogenen externen Magnetfelds in drei Frequenzen auf (siehe Abb. 12.3). Diese drei Frequenzen werden Lorentzsches Triplett genannt. Ist die Frequenz der Spektrallinie ohne Magnetfeld $ω$ , dann sind die Frequenzen im Lorentzschen Triplett gegeben durch

wie Lorentz schon auf rein klassischem Weg herausfand (siehe Abschnitt 12.1).

Abb. 12.3: Zeeman-Effekt: Illustration der Auswahlregeln im Energiediagramm für das Wasserstoffatom für die Übergänge zwischen (a) $p$ - und $s$ -Niveaus und (b) $d$ - und $p$ -Niveaus (Hinweis: Abbildung ist nicht massstabsgerecht).

Wenn das Lorentzsche Triplett auftritt, dann spricht man vom normalen Zeeman-Effekt. Die Gründe für diese Bezeichnung sind rein historisch. Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass der normale Zeeman-Effekt nur ein Spezialfall des sogenannten anomalen Zeeman-Effekts ist, bei dem der Spin des Elektrons (siehe Kapitel 13) mitberücksichtigt wird. Beim Wasserstoffatom ist deshalb in der Realität die Aufspaltung komplizierter und nicht alleine durch den Bahndrehimpuls erklärbar.

12.5 Zusammenfassung

Unter dem Einfluss eines externen Magnetfelds wird die Entartung der Energieniveaus eines Atoms teilweise aufgehoben. Als folge davon werden die Spektrallinien im Spektrum eines Atoms in mehrere Linien aufgespaltet. Dieser Effekt wird nach seinem Entdecker Zeeman-Effekt genannt.
Die erste Interpretation des Zeeman-Effekts lieferte Lorentz im Jahr 1896, für die er zusammen mit Zeeman 1902 den Nobelpreis in Physik erhielt. Sein Resultat steht im engen Zusammenhang mit der Entdeckung, dass das Elektron ein Bestandteil des Atoms ist.
Das semiklassische Modell, beruhend auf dem Bohrschen Atommodell, sowie die rein quantenmechanische Betrachtung ergeben für die Energiewerte $En,ml$ des Wasserstoffatoms im homogenen externen Magnetfeld

wobei $ωL = eB ∕(2m )$ die Larmor-Frequenz bezeichnet. Das bedeutet, dass durch ein homogenes externes Magnetfeld $⃗B$ die durch die magnetische Quantenzahl $ml$ bewirkte $(2l + 1)$ -fache Entartung der Energiewerte $En$ aufgehoben wird.
Die Aufspaltung der Energieniveaus des Wasserstoffatoms im homogenen externen Magnetfeld führt zu zusätzlichen Übergängen und damit zu zusätzlichen Spektrallinien im Spektrum des Wasserstoffatoms. Die Anzahl der Übergänge wird jedoch durch die sogenannten Auswahlregeln beschränkt. Für das Wasserstoffatom lauten diese: $Δn beliebig$ , $Δl = ±1$ , $Δml = 0,±1$ . Der Abstand $Δ = μBB$ benachbarter Zeeman-Energieniveaus ist von den Quantenzahlen $n$ und $l$ unabhängig, weshalb sich die Frequenzen der erlaubten Übergänge durch den Einfluss eines homogenen externen Magnetfelds in drei Frequenzen aufspalten. Diese drei Frequenzen werden Lorentzsches Triplett genannt.
Der in diesem Kapitel behandelte Zeeman-Effekt wird normaler Zeeman-Effekt genannt und ist ein Spezialfall, des anomalen Zeeman-Effekts, bei dem der Spin des Elektrons mitberücksichtigt wird.