Anhang K
Pauli-Matrizen

In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen σx   , σy   und σz   kennengelernt. Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.

Die Pauli-Matrix σz   ergibt sich aus der Anwendung von Sˆz   auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ ) = (1,0)  und χ- 1∕2(σ) = (0,1)  . Mit (13.12) ergibt sich

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und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σz   das folgende Resultat

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Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen σ
 x   und σ
 y   leiten wir die Eigenschaften und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren  ˆ
S+ und ˆ
S- unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen  ˆ
Sx   und Sˆy her.

Die Leiteroperatoren ˆ
S+   und ˆ
S- sind nach (13.28) und (13.29) gegeben durch

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Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:

Wir wenden nun den Operator ˆ
Sz   auf die Zustände ˆ
Sχms (σ)  an und untersuchen damit den Einfluss der Leiteroperatoren Sˆ auf die magnetische Spinquantenzahl ms  = 1∕2  . Wir erhalten

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Somit erhöht (erniedrigt) der Operator Sˆ+   (ˆS- ) die Quantenzahl ms  um 1. Auf analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren ˆS auf die Spinquantenzahl s = 1∕2  . Es gilt

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Folglich bleibt die Spinquantenzahl s = 1∕2  unverändert bei der Anwendung der Leiteroperatoren ˆS .

Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände ˆS χms(σ)  und erhalten mit (K.5), (K.6), (13.10) und (13.11)

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wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen χms (σ)  auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der Quantenzahlen s  und ms  unter der Anwendung der Leiteroperatoren ˆ
S erhalten wir damit die folgende Gleichung

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Mit s = 1∕2  und ms  = 1 ∕2  ergibt sich daraus für die Anwendung der Leiteroperatoren ˆS auf die beiden Basiszustände χ1∕2(σ) = (1,0)  und χ -1∕2(σ) = (0,1)

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Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren ˆ
S durch die folgenden Matrizen darstellen

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Damit folgt für die beiden Operatoren ˆSx   und ˆSy

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und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für σx   und σy   das folgende Resultat

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