In Abschnitt 13.3 haben wir die Pauli-Matrizen ,
und
kennengelernt.
Wir geben an dieser Stelle eine Herleitung dieser Matrizen an.
Die Pauli-Matrix ergibt sich aus der Anwendung von
auf die beiden
Basiszustände
und
. Mit (13.12) ergibt
sich
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für das folgende Resultat
Für die Bestimmung der Pauli-Matrizen und
leiten wir die Eigenschaften
und die Matrizendarstellung der in Abschnitt 13.3.1 eingeführten Leiteroperatoren
und
unabhängig von der Matrizendarstellung für die Spinmatrizen
und
her.
Die Leiteroperatoren und
sind nach (13.28) und (13.29) gegeben
durch
Wir geben als erstes ein paar Eigenschaften dieser beiden Operatoren an:
mit (K.5) und (K.6) ergibt sich
und in Analogie zu (11.15) gilt
Wir wenden nun den Operator auf die Zustände
an und untersuchen
damit den Einfluss der Leiteroperatoren
auf die magnetische Spinquantenzahl
. Wir erhalten
Somit erhöht (erniedrigt) der Operator (
) die Quantenzahl
um 1. Auf
analoge Weise untersuchen wir den Einfluss der Leiteroperatoren
auf die
Spinquantenzahl
. Es gilt
Folglich bleibt die Spinquantenzahl unverändert bei der Anwendung der
Leiteroperatoren
.
Als nächstes betrachten wir die Norm der Zustände und erhalten
mit (K.5), (K.6), (13.10) und (13.11)
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass die Spinwellenfunktionen
auf 1 normiert sind. Zusammen mit dem erhaltenen Verhalten der
Quantenzahlen
und
unter der Anwendung der Leiteroperatoren
erhalten
wir damit die folgende Gleichung
Mit und
ergibt sich daraus für die Anwendung der
Leiteroperatoren
auf die beiden Basiszustände
und
Folglich lassen sich die beiden Leiteroperatoren durch die folgenden Matrizen
darstellen
Damit folgt für die beiden Operatoren und
und somit in Übereinstimmung mit (13.25) für und
das folgende
Resultat