Wir zeigen hier die Richtigkeit des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens aus Abschnitt 9.5.6, welches ermöglicht aus ursprünglich nicht orthogonalen (normierten) Eigenfunktionen , = 1, 2, ..., , orthogonale (normierte) Eigenfunktionen , = 1, 2, ..., , zu gewinnen. Zu zeigen ist, dass die durch (9.270) definierten neuen (normierten) Eigenfunktionen , = 1, 2, ..., , paarweise orthogonal zueinander sind, d.h. wir müssen zeigen, dass
Der Beweis erfolgt nach dem Induktionsverfahren:
wobei beliebig. Wir führen diese Rechnung nun aus. Mit (9.270) ergibt sich
Nach Voraussetzung sind die (normierten) Eigenfunktionen , = 1, 2, ..., paarweise orthogonal zueinander und demzufolge ist
Damit folgt aus (C.3)