Wir zeigen hier die Richtigkeit des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens
aus Abschnitt 9.5.6, welches ermöglicht aus ursprünglich nicht orthogonalen
(normierten) Eigenfunktionen
,
= 1, 2, ...,
,
orthogonale
(normierte) Eigenfunktionen
,
= 1, 2, ...,
, zu gewinnen. Zu zeigen ist,
dass die
durch (9.270) definierten neuen (normierten) Eigenfunktionen
,
= 1, 2, ...,
, paarweise orthogonal zueinander sind, d.h. wir müssen zeigen,
dass
Der Beweis erfolgt nach dem Induktionsverfahren:
wobei beliebig. Wir führen diese Rechnung nun aus.
Mit (9.270) ergibt sich
Nach Voraussetzung sind die (normierten) Eigenfunktionen ,
= 1, 2, ...,
paarweise orthogonal zueinander und demzufolge
ist
Damit folgt aus (C.3)