3 Inverser Photoeffekt

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Kapitel 3
Inverser Photoeffekt

In Kapitel 2 haben wir den Photoeffekt kennengelernt. Der Effekt beschreibt die Tatsache, dass durch die Bestrahlung einer Metalloberfläche mit Licht, Elektronen aus einem Metall gelöst werden können. Dabei kann ein Lichtquant (Photon) seine gesamte Energie $hν$ auf ein einzelnes Elektron übertragen.

Dazu existiert ein inverser Effekt: Bei der Abbremsung von Elektronen an einer Metalloberfläche wird elektromagnetische Strahlung emittiert. Auf diesen inversen Photoeffekt der durch Bremsstrahlung hervorgerufen wird, gehen wir in diesem Kapitel ein. Zuerst betrachten wir die Erzeugung von Bremsstrahlung klassisch. Anschliessend wenden wir uns der Erzeugung und Charakterisierung von Röntgen-Strahlung zu. Aufbauend auf der Messung des Röntgen-Spektrums erfolgt eine quantenmechanische Interpretation der Bremsstrahlung.

3.1 Klassische Beschreibung der Bremsstrahlung

Wir untersuchen als erstes die Bremsstrahlung, d.h. die Emission von elektromagnetischer Strahlung beim Abbremsen von Elektronen an einer Metalloberfläche, an einem einfachen klassischen Modell (siehe Abb. 3.1): Eine negativ geladene Ladung $- q$ (z.B. ein Elektron) bewegt sich auf eine positive Ladung $+ q$ zu und erfahre dabei eine negative Beschleunigung (Bremsung), deren Ursache wir zunächst nicht weiter diskutieren wollen. Diese Ladungskonfiguration lässt sich als Hertzscher Dipol beschreiben. Wir nehmen an, dass sich die negative Ladung $- q$ längs der z-Achse bewegt und die positive Ladung $+ q$ im Ursprung fixiert ist. Das entsprechende Dipolmoment ist dann längs der z-Achse gerichtet und beträgt $p = qz$ , wenn $z$ der Ort der Ladung $- q$ bezeichnet.

Abb. 3.1: Der Hertzsche Dipol als klassisches Modell für die Bremsstrahlung: Eine negative Ladung $- q$ bewegt sich auf eine positive Ladung $+ q$ zu und wird dabei abgebremst. Dadurch sendet der Dipol $⃗p$ elektromagnetische Strahlung aus.

Die vom Dipol unter dem Winkel $ϑ$ bezogen auf die Dipolachse z abgestrahlte Intensität $I$ im Abstand $r$ vom Dipol ist gegeben durch den Betrag des entsprechenden Poyntingvektors $⃗S = E⃗× ⃗H$ (auf eine Herleitung wird hier verzichtet und auf weiterführende Literatur [2] verwiesen)

Wegen der endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit $c$ der elektromagnetischen Wellen ist $¨p$ zur (retardierten) Zeit $t- r∕c$ zu nehmen, damit man $S$ bzw. $I$ zur Zeit $t$ erhält. Aus (3.1) wird klar, dass ein elektrischer Dipol strahlt, wenn die zweite Ableitung des Dipolmoments nach der Zeit $p¨$ nicht verschwindet. Aus $p = qz$ folgt $¨p = q¨z$ . Damit also $¨p ⁄= 0$ ist, muss gelten $¨z ⁄= 0$ , was in unserem Modell erfüllt ist, da unsere negative Ladung $- q$ eine negative Beschleunigung erfahre. Grosse Werte von $¨z$ und damit eine hohe Strahlungsintensität werden erreicht, wenn sehr schnelle Elektronen beim Auftreffen auf Materie abgebremst werden. Da der Bremsvorgang die Ursache für die elektromagnetische Strahlung ist, wird diese Strahlung Bremsstrahlung genannt.

Der Bremsvorgang wird im Allgemeinen sehr kompliziert sein. Das Elektron kann viele Zusammenstösse erleiden, bis es seinen Platz im Metall gefunden hat, sei es in einem Atom oder im Elektronengas. Als Extremfall könnte man sich klassisch folgenden Einzelprozess vorstellen, bei dem das Elektron seine ganze kinetische Energie in Strahlung umwandelt (siehe Abb. 3.2): Das einfallende Elektron dringt in die Elektronenwolke eines (neutralen) Atoms ein und wird durch das im Innern herrschende elektrische Feld umgelenkt. Wegen der Beschleunigung bzw. Verzögerung, die es dabei erfährt, strahlt es eine elektromagnetische Welle ab und verliert dadurch kinetische Energie. Im Grenzfall könnte es am Rande des Atoms zum Stillstand kommen.

Abb. 3.2: Schematische Darstellung des Bremsvorgangs: Ein Elektron dringt in die Elektronenwolke eines Atoms ein und wird dabei abgebremst.

Wir führen hier die aufwendige Rechnung nicht durch, sondern nur eine qualitative Betrachtung über die Form des Frequenzspektrums der emittierten Strahlung geben. Wir betrachten einfachheitshalber den Bremsvorgang des Elektrons in einer Dimension. In Abb. 3.3 ist diese Bewegung in einem Geschwindigkeits-Weg- und in einem Beschleunigungs-Weg-Diagramm dargestellt: Das Elektron befindet sich zuerst in einem freien Flug und wird anschliessend in einem Atom oder im Elektronengas eines Metalls gebremst. Die Stärke des elektrischen und magnetischen Feldes in der Wellenzone ist proportional zu $¨z(t- r∕c)$ . Das Frequenzspektrum ergibt sich dann durch Fourier-Transformation von $¨z(t- r∕c)$ . Das Spektrum wird kontinuierlich sein und sich zumindest bei klassischer Betrachtung von $ν = 0$ bis zu beliebig hohen Frequenzen erstrecken. Die Verschiebung $r∕c$ beeinflusst das Spektrum nicht, so dass wir $¨z(t)$ fourier-transformieren können.

Abb. 3.3: (a) Darstellung des Bremsvorgangs in einem Geschwindigkeits-Weg-Diagramm und (b) in einem Be-schleunigungs-Weg-Diagramm.

Um eine Idee zu gewinnen, wie das Spektrum etwa aussehen könnte, nehmen wir an, dass der zeitliche Verlauf - $¨z(t)$ des Bremsvorgangs durch eine Glockenkurve der Breite $2τ$ gegeben ist. Die maximale negative Beschleunigung $a0$ wird bei $t = 0$ gesetzt. Die Glockenkurve ist gegeben durch (siehe Abb. 3.4)

Die Fourier-Transformierte ist dann wieder eine Glockenkurve

Wesentlich ist hier, dass sich das Spektrum bis zu beliebig hohen Frequenzen erstreckt und das Amplitudenmaximum bei $ν = 0$ liegt. Da $¨z$ symmetrisch angenommen wurde, muss man positive und negative Frequenzen im Spektrum nicht unterscheiden, d.h. es genügt, die rechte Hälfte des Spektrums zu betrachten.

Abb. 3.4: (a) Glockenkurve als Modell für den Bremsvorgang. (b) Frequenzspektrum der Bremsstrahlung (Fourier-Transformierte).

An diesem sehr vereinfachten klassischen Modell ist noch eine wesentliche Korrektur anzubringen: Beim Bremsprozess dringen die Elektronen eine sehr kleine Strecke in das Metall ein, so dass ein Teil der emittierten Bremsstrahlung in diesem absorbiert wird. Die niederfrequente Strahlung wird dabei viel stärker absorbiert als die hochfrequente Strahlung. Dieser Effekt bewirkt eine bedeutende Veränderung der Form des klassisch erwarteten Spektrums auf der niederfrequenten Seite (siehe Abb. 3.5).

Abb. 3.5: Klassisches Frequenzspektrum der Bremsstrahlung mit und ohne Berücksichtigung der Absorption im Metall.

3.2 Röntgen-Strahlung

Beschleunigt man Elektronen auf Energien von einigen $10keV$ , so kann der inverse photoelektrische Effekt benutzt werden, um kurzwellige elektromagnetische Strahlung kontrolliert zu erzeugen. Diese Strahlung wird nach ihrem Entdecker Wilhelm Röntgen¹ auch Röntgen-Strahlung genannt. Solche Strahlung durchdringt Materie und findet daher auch Anwendung in der Medizin bei der Abbildung von Knochen oder inneren Organen, sowie in der Festkörperphysik bei der Untersuchung von Materialeigenschaften. Dabei wird im ersten Fall typischerweise die Absorption der Röntgen-Strahlung gemessen, wohingegen im zweiten Fall Interferenzphänomene benutzt werden, um Kristallstrukturen akkurat zu bestimmen.

3.2.1 Funktionsweise einer Röntgen-Röhre

Eine Röntgen-Röhre (siehe Abb. 3.6) besteht aus einem in einem Vakuumbehälter installierten thermischen Elektronenemitter dessen Elektronen auf hohe Energien beschleunigt werden und dann auf eine Anode treffen. Wir gehen nun auf einige wichtige Aspekte bei der Erzeugung von Röntgen-Strahlung ein.

Abb. 3.6: Der schematische Aufbau einer Röntgen-Röhre. Auf die einzelnen Bestandteile wird im Text eingegangen.

(1) In einem ersten Schritt werden freie Elektronen mittels des thermoelektrischen Effekts (siehe Abschnitt 3.3) erzeugt. Dazu wird ein Filament elektrisch erhitzt indem es an eine Stromquelle angeschlossen wird. Erreicht das Filament eine ausreichend hohe Temperatur, so können einzelne Elektronen die Austrittsarbeit überwinden und das Filament verlassen. (2) Anschliessend werden die Elektronen stark beschleunigt indem sie einen Feldgradienten durchlaufen, der durch eine Spannung der Grössenordnung $U = 1 - 100$ kV erzeugt wird, die zwischen einer Gitterelektrode und einer Kollektorelektrode angelegt ist. Die so beschleunigten Elektronen treffen auf die Anode und werden darin durch Vielfachstreuung an Elektronen und Kernen abgebremst. (3) Dabei wird Bremsstrahlung mit einem kontinuierlichen Spektrum erzeugt. Bei den betrachteten Beschleunigungsspannungen erhält man Röntgen-Strahlung bei Wellenlängen zwischen $10-8$ und $10-12$ m.

3.3 Der thermoelektrische Effekt

In der Röntgen-Röhre wird der thermoelektrische Effekt eingesetzt um freie Elektronen zu erzeugen. Dieser Prozess löst, ähnlich dem Photoeffekt, Elektronen aus einem Metall aus. Beim thermoelektrischen Effekt wird die nötige Energie durch thermische Anregung anstatt durch Bestrahlung mit elektromagnetischer Strahlung bereitgestellt. Dieser Effekt wird z.B. auch in analogen Oszilloskopen, in den früher üblichen Röhrenfernsehern und in Elektronenmikroskopen zum Einsatz gebracht.

Die thermische Anregung der Elektronen erfolgt folgendermassen: Durch das Metall fliesst ein Strom. Infolgedessen führt der elektrische Widerstand zum Aufheizen des Metalls und der in ihm befindlichen Elektronen bis ein thermisches Gleichgewicht eintritt. Für die Elektronen bei den höchsten Energien wird es dann möglich die Austrittsarbeit $W$ zu überwinden und das Metall zu verlassen.

Zur Veranschaulichung betrachten wir den Effekt in einem Energiediagramm (siehe Abb. 3.7). Wir führen dazu die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion $PFD (E )$ ein, die die Wahrscheinlichkeit angibt mit der ein Elektron eine Energie $E$ bei gegebener Temperatur $T$ (im thermischen Gleichgewicht) hat

wobei $E F$ die Fermi-Energie ist. Die Bedeutung der Fermi-Energie wird klar, wenn wir den Fall $T = 0$ K betrachten. Bei $T = 0$ K nimmt die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion die Form einer Stufenfunktion ein, d.h.

Mit anderen Worten: Bei $T = 0$ K sind alle Zustände im Metall bis zur Energie $EF$ besetzt, alle Zustände höherer Energie unbesetzt. Bei Metallen entspricht $EF$ ungefähr der Austrittsarbeit und ist von der Grössenordnung 2 - 5 eV.

Wird jedoch die Temperatur erhöht, so verformt sich die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion und es wird für die Elektronen durch thermische Anregung möglich, Zustände oberhalb des Fermi-Niveaus einzunehmen. Wird nun die Temperatur so stark erhöht, dass $kBT ~ 0.1 EF$ , d.h. $4 T ~ 2000 - 10$ K, so ist es für die Elektronen möglich das Metall zu verlassen.

Abb. 3.7: Der thermoelektrische Effekt dargestellt im Energiediagramm: Bei $T = 0$ K nimmt die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion eine Stufenform an, für höhere Temperaturen verformt sich die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion und bei $4 T ~ 2000- 10$ K wird es für Elektronen möglich das Metall zu verlassen.

3.4 Beugung von Röntgen-Strahlung

In diesem Abschnitt untersuchen wir das Spektrum einer Röntgen-Röhre, deren Funktionsweise wir bereits kennengelernt haben (siehe Abschnitt 3.2), anhand verschiedener Messmethoden.

3.4.1 Wellenlängenmessungen mit künstlichen Gittern

Im sichtbaren Bereich elektromagnetischer Strahlung, d.h. für Wellenlängen $λ$ zwischen 380 und 780 nm, verwendet man zur Wellenlängenmessung z.B. künstlich hergestellte Beugungsgitter mit einer bekannten Gitterkonstante $a$ von der Grössenordnung der Wellenlänge $λ$ . Für kurzwellige Strahlung, wie z.B. Röntgen-Strahlung, ist diese Methode allerdings schwierig zu realisieren.

Röntgen-Strahlung hat eine Wellenlänge $λ$ von etwa 1 Å . Diese entstehen bei Beschleunigungsspannungen $U$ zwischen 20 und 50 kV. Technisch lassen sich bei künstlichen Beugungsgittern minimale Spaltabstände von der Grössenordnung von $a ~ 10′000$ Å realisieren. Wir betrachten nun die Bedingung für die Beugungswinkel der Maxima unter diesen Aspekten (siehe Abb. 3.8):

Aufgrund der vorangegangen Betrachtungen gilt für die Röntgen-Strahlung: $λ ≪ a$ , was zur Folge hat, dass bei kleinen Ordnungszahlen $n$ die Spektren auf einen sehr kleinen Winkelbereich zusammengedrängt wären und bei grossen Ordnungszahlen bzw. Beugungswinkeln sind die Beugungsmaxima so schwach, dass man sie nicht mehr messen kann. Es wird klar, dass wir uns für die Wellenlängenbestimmung bei der Röntgen-Strahlung einer anderen Methode bedienen müssen.

Abb. 3.8: Beugung von Röntgen-Strahlung am künstlichen Gitter mit Gitterkonstante $a$ .

Eine Möglichkeit ist Interferenz bei streifendem Einfall zu betrachten, d.h. wenn die Strahlung unter kleinem Winkel zur Oberfläche des Gitters einfällt (siehe Abb. 3.9).

Abb. 3.9: Trick des streifenden Einfalls: Spektrale Zerlegung von Strahlung mit Hilfe eines Reflexionsgitters.

Mit Hilfe eines Reflexionsgitters lässt sich damit Strahlung spektral zerlegen, auch dann, wenn die Gitterkonstante $a$ gross ist im Vergleich zur Wellenlänge $λ$ . Ein Beugungsmaximum tritt auf, wenn die Wegdifferenz zwischen zwei an benachbarten Kämmen reflektierten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist

Daraus ergibt sich die folgende Bedingung für die Beugungsmaxima bei streifendem Einfall

Im Gegensatz zum Fall eines Gitters bei normalem Einfall der Strahlung ist der Beugungswinkel im wesentlichen proportional zu $∘ ---- λ∕a$ statt zu $λ∕a$ . Bei streifendem Einfall kann man deshalb auch noch bei sehr kleinen Verhältnissen $λ ∕a$ spektrale Zerlegung vornehmen. Mit geeigneten optischen Reflexionsgittern ( $a = 5μm$ ) ist es daher möglich, Röntgen-Strahlen im Wellenlängenbereich von einigen Å aufzunehmen. Tatsächlich ist die Wellenlängenskala der Röntgen-Spektren auf diese Weise an diejenige der optischen Spektren angeschlossen worden.

3.4.2 Bragg-Reflexion

Anstelle von künstlich hergestellten Gittern kann man aber auch natürlich vorkommende periodische Strukturen, wie z.B. Kristallgitter verwenden. Bei natürlichen Kristallgittern sind typische Gitterkonstanten von der Grössenordnung von einigen Å , welche im Wellenlängenbereich der Röntgen-Strahlung liegen. Diese eignen sich daher bestens für die Beugung und damit Wellenlängenmessung von Röntgen-Strahlung. Allerdings handelt es sich hier nicht um zweidimensionale Strichgitter, sondern um sogenannte Raumgitter. Wir werden hier nur eine vereinfachte Theorie der Raumgitterinterferenz diskutieren und verweisen für weitere Ausführungen auf die Festkörperphysik.

Als Beispiel betrachten wir die Beugung von Röntgen-Strahlung an einem einfachen kubischen Gitter mit der Gitterkonstante $a$ längs der kubischen Achsen (siehe Abb. 3.10). Vereinfachend nehmen wir dazu an, dass die Gitterpunkte mit gleichen Atomen besetzt sein sollen².

Abb. 3.10: Bragg-Reflexion am einfach kubischen Kristall. Auf die Bezeichnungen wird im Text eingegangen.

In dieses Gitter soll eine ebene elektromagnetische Welle eindringen, wobei die Einfallsrichtung in der xy-Ebene liegt. Der Einfallswinkel wird mit $ϑ$ bezeichnet. Unter dem Einfluss des Feldes der einfallenden Welle werden die Elektronen der Atome zu erzwungenen Schwingungen angeregt, die eine feste Phasenbeziehung mit der einfallenden Welle haben. Sie werden damit zu kohärenten Sekundärstrahlern. Man spricht in diesem Fall von kohärenter Streuung³.

Wir analysieren nun unter welchen Bedingungen, insbesondere unter welchen Winkeln, konstruktive Interferenz zwischen den von den einzelnen Atomen kohärent gestreuten Wellen auftritt. Ein Interferenzmaximum in der gestreuten Intensität kommt in der skizzierten Situation zustande, wenn die folgenden zwei sogenannten Bragg-Bedingungen⁴ (siehe Abb. 3.10) gleichzeitig erfüllt sind:

Die Sekundärwellen der Atome auf jeder Netzebene⁵ parallel zur x-Achse müssen konstruktiv interferieren. Für beliebige Einfallswinkel $ϑ E$ ist dies erfüllt, wenn für die Gangunterschiede der einfallenden Welle $ΔE$ und der reflektierten Welle $ΔR$ gilt

Daraus folgt für $λE = λR$ die Bedingung, dass der Einfallswinkel $ϑE$ dem Ausfallswinkel $ϑR$ identisch sein muss⁶
Die Sekundärwellen der Atome auf Netzebenen parallel zur y-Achse sollen ebenfalls konstruktiv interferieren. Dabei ergibt sich für den Wegunterschied zweier Strahlen ausgesandt von benachbarten Atomen unter der Bedingung (3.10) $2Δ = 2a sinϑ$ . Für konstruktive Interferenz muss dieser Wegunterschied einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge $λ$ entsprechen. Damit folgt die zweite Bragg-Bedingung

Dies sind die Bedingungen für Bragg-Reflexion an einer Schar von Netz-ebenen (im Beispiel sind sie senkrecht zur y-Achse), deren Abstand $a$ beträgt. Zusätzlich bemerken wir, dass das Interferenzmaximum umso schärfer ist, je grösser die Anzahl Netzebenen ist, die beteiligt sind.

Diese Methode eignet sich, wie erwähnt, für die Bestimmung der Wellenlänge $λ$ von Röntgen-Strahlen bei bekannter Gitterkonstante $a$ . Umgekehrt kann bei bekannter Wellenlänge $λ$ die Gitterkonstante $a$ eines natürlichen Kristalls bestimmt werden. Diese Technik kommt in der Festkörperphysik häufig zur Anwendung (siehe Abschnitt 7.2.2).

Netzebenen

Man kann Atome in einem Gitter auf viele Weisen zu Netzebenen zusammenfassen. Den einfachsten Fall haben wir in der Beschreibung der Bragg-Reflexion nach Abb. 3.10 kennengelernt. In Abb. 3.11 ist nun eine weitere Möglichkeit skizziert, wie die Atome in einem einfach kubischen Gitter zu Netzebenen zusammengefasst werden können. In die Bragg-Bedingung (3.11) ist dann anstelle von $a$ der Abstand dieser Netzebenen einzusetzen. Wir überprüfen dies in diesem neuen Beispiel.

Abb. 3.11: Beispiel zu Netz-ebenen im einfach kubischen Gitter.

Als Braggsche Netzebenen betrachten wir die eingezeichneten Diagonalebenen des kubischen Gitters. Konstruktive Interferenz der Streuwellen, d.h. ein Beugungsmaximum, tritt auf, wenn gleichzeitig folgende zwei Bedingungen er-füllt sind:

Analog zur Bragg-Reflexion nach Abb. 3.10 muss auch hier der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel sein

Ebenfalls muss der Wegunterschied zweier Strahlen, welche an zwei benachbarten parallelen Ebenen reflektiert werden, einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge $λ$ entsprechen

Daraus ergibt sich

Mit $-- cos(π∕4 ) = sin(π ∕4) = 1∕ √2$ folgt

Die Bragg-Bedingung lautet somit

d.h. wir erhalten wie behauptet die Bragg-Bedingung (3.11), wo anstelle von $a$ der neue Netzebenenabstand $√-- a ∕ 2$ einzusetzen ist.

Bragg-Reflexion mit Mikrowellen

Das Phänomen der Bragg-Reflexion lässt sich statt mit Röntgen-Strahlung an einem natürlichen Kristall mit Netzebenenabstand von einigen Å anschaulicher mit Mikrowellenstrahlung an einem künstlichen Kristall mit einigen cm Netzebenenabstand demonstrieren (siehe Abb. 3.12). Eingebettet in Schaumstoff, der die Mikrowellen nicht streut, sind $53$ Aluminiumkugeln von 1.25 cm Durchmesser. Sie bilden ein einfaches kubisches Gitter mit der Gitterkonstanten $a = 4$ cm. Ein Klystron-Oszillator sendet eine elektromagnetische Welle von 3.2 cm Wellenlänge aus, die durch eine Kunststofflinse in eine ebene Welle umgewandelt wird, die dann auf das Kristallmodell einfällt.

Abb. 3.12: Demonstration der Bragg-Reflexion mit Mikrowellen. Auf die einzelnen Bestandteile des Versuchaufbaus wird im Text eingegangen.

Die skizzierte Stellung von Sender, Kristallmodell und Empfänger entspricht der Bragg-Bedingung für $n = 1$ und $a = 4$ cm

Auch die Bragg-Reflexion an den Diagonalebenen des kubischen Gitters lässt sich in diesem Modell demonstrieren

3.5 Messung des Spektrums einer Röntgen-Röhre

Wir betrachten nun die Messung des Spektrums einer Röntgen-Röhre. Zur Messung dient ein sogenanntes Bragg-Spektrometer (siehe Abb. 3.13). Aus dem Strahlungsfeld einer Röntgen-Röhre mit Molybdän-Anode wird durch zwei Spalte ein annähernd paralleles Strahlenbündel ausgeblendet und an einem NaCl-Kristall (einfach kubisches Gitter mit $a = 2.81$ Å ) Bragg reflektiert. Als Detektor wird ein Geiger-Zähler verwendet. Er spricht auf die einfallenden Röntgen-Lichtquanten an. Die Intensität der Strahlung ist proportional zur Zählrate, d.h. zur Anzahl der Quanten, die in einem bestimmten Zeitintervall registriert werden.

Abb. 3.13: Bragg-Spektrometer: Experimenteller Aufbau zur Bestimmung des Spektrums einer Röntgen-Röhre. Auf die einzelnen Bestandteile des Versuchaufbaus wird im Text eingegangen.

Zur Aufnahme des Intensitätsspektrums der Röntgen-Röhre wird der Kristall langsam gedreht. Die Bewegung des Geigerzählers ist mit derjenigen des Kristalls so gekoppelt, dass die erste Bragg-Bedingung immer erfüllt ist. Bei gleichzeitiger Erfüllung der zweiten Bragg-Bedingung wird die Intensität der an der Schar der Netzebenen mit dem Abstand $a = 2.81$ Å gestreuten Strahlung detektiert.

Abb. 3.14 zeigt die Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion des Reflexionswinkels für verschiedene Beschleunigungsspannungen (20, 30 und 50 kV), wie sie mit dem Aufbau aus Abb. 3.13 gemessen wird.

Abb. 3.14: Das Spektrum einer Röntgen-Röhre: Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion des Reflexionswinkels für Beschleunigungsspannungen von 20, 30 und 50 kV.

Bei $20kV$ beobachten wir ein kontinuierliches Spektrum, welches bei kleinen Winkeln $ϑ ~ 6o$ abbricht. Bei höheren Beschleunigungsspannungen ( $30kV$ , $50kV$ ) steigt die Intensität des Spektrums und der Winkel bei dem die Verteilung abbricht erniedrigt sich. Dieses Abbrechen des Spektrums bei einer minimalen Wellenlänge $λmin$ bzw. maximalen Frequenz $νmax$ steht klar im Widerspruch zur klassischen Betrachtung (siehe Abschnitt 3.1). Zusätzlich treten bei ausreichend hohen Spannungen diskrete Linien im Spektrum auf, deren Position nicht von der Beschleunigungsspannung abhängt.

Wenn die kürzeste Wellenlänge $λmin$ der von der Röntgen-Röhre erzeugten Strahlung deutlich kleiner ist als der Netzebenenabstand $a$ des Kristalls, dann wird die Bragg-Bedingung nicht nur in erster Ordnung ( $n = 1$ ) sondern auch in höheren Ordnungen ( $n > 1$ ) erfüllt. Dadurch zeigen sich im Spektrum bei grösseren Beugungswinkeln Repliken der diskreten Spektrallinien und die Gesamtintensität steigt an. Bei einer Winkeleinstellung $ϑ$ wird nicht nur die Wellenlänge $λ = 2a sinϑ$ reflektiert, sondern auch die Wellenlängen $λ ∕2$ , $λ ∕3$ , $λ∕4$ , ... , sofern sie im Spektrum der Röntgen-Röhre vorkommen. Nur wenn das Spektrum der Röhre so beschaffen ist, dass der Kristall nur in der ersten Ordnung ( $n = 1$ ) reflektiert, würde bei jeder Winkelstellung $ϑ$ nur Strahlung einer einzigen Wellenlänge $λ = 2a sin ϑ$ in den Detektor gelangen und die Zählrate ergäbe ein direktes Abbild des Intensitätsspektrums. Eine grobe Zerlegung in die Ordnungen $n$ = 1, 2 und 3 für die 50 kV Messung ist in Abb. 3.15 skizziert.

Abb. 3.15: Das Spektrum einer Röntgen-Röhre: Skizze einer Messung der Zählrate als Funktion der Wellenlänge für eine Beschleunigungsspannung von 50 kV mit der Zerlegung in die Ordnungen $n$ = 1, 2 und 3.

Die experimentellen Spektren brechen bei einer Grenzfrequenz $νmax$ , die innerhalb der Messgenauigkeit der Messapparatur proportional zur Beschleunigungsspannung $U$ ist, scharf ab. Der Proportionalitätsfaktor hängt nicht vom Anodenmaterial ab. Ganz offensichtlich besteht hier ein Zusammenhang mit der Einsteinschen Interpretation des Photoeffekts. Mit dieser quantenmechanischen Interpretation beschäftigen wir uns im nächsten Abschnitt.

Die dem kontinuierlichen Spektrum überlagerten Linien treten bei einer Mo-Anode nur auf, wenn die Beschleunigungsspannung 20 kV überschreitet. Ihre Wellenlängen und die Schwellenspannung⁷ hängen nur vom Anodenmaterial ab.

3.6 Quantenmechanik des Inversen Photoeffekts

Trägt man die Beschleunigungsspannung $U$ als Funktion der bei einer Röntgen-Röhre gemessenen Grenzfrequenz $νmax$ auf, so ergibt sich ein linearer Zusammenhang (siehe Abb. 3.16). Die Gleichung der Geraden ist gegeben durch

wobei die Steigung wie beim Photoeffekt durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ und die Elektronenladung $e$ bestimmt ist. Die Austrittsarbeit $W$ ist von der Grössenordnung von 1 eV und kann in diesem Experiment gegenüber $eU$ (Grössenordnung $104$ eV) vernachlässigt werden.

Abb. 3.16: Die Beschleunigungsspannung $U$ zeigt eine lineare Abhängigkeit von der Grenzfrequenz $νmax$ .

Die Interpretation der Gleichung ist folgende:

Die maximale Frequenz $ν max$ der elektromagnetischen Strahlung, die beim Abbremsen eines geladenen Teilchens der kinetischen Energie $Ekin$ entstehen kann, ist gegeben durch die Energie $hνmax = Ekin$ .
Wenn wir den Begriff des Photons verwenden, lässt sich die Interpretation auch folgendermassen formulieren: Das energiereichste Photon, das beim Abbremsen eines geladenen Teilchens der kinetischen Energie $Ekin$ entstehen kann, hat die Energie $hνmax = Ekin$ .

Das Bremsstrahlungsexperiment zeigt also in Übereinstimmung mit dem Photoeffekt, dass die Energie eines Lichtquants $hν$ beträgt. Offenbar gilt diese Beziehung in einem sehr grossen Energiebereich. Die Existenz der Grenzfrequenz $νmax$ zeigt, dass das einfallende Elektron seine ganze kinetische Energie zur Erzeugung eines Photons aufwenden kann.

Das sich an die Grenzfrequenz anschliessende kontinuierliche Spektrum ist andererseits ein Indiz dafür, dass im Allgemeinen nur ein Bruchteil der kinetischen Energie zur Erzeugung des Photons dient und dass dieser beliebig sein kann. Dies ist auch plausibel aus der klassischen Betrachtung (siehe Abschnitt 3.1). Tatsächlich liefert die klassische Theorie eine gute Approximation für den langwelligen Teil des Bremsspektrums, wenn man die Absorption der Strahlung im Anodenmaterial als bekannt voraussetzt.

Wir haben gesehen, das dem kontinuierlichen Spektrum der Röntgen-Röhre (siehe Abb. 3.15) Spektrallinien überlagert sind. Dieses Linienspektrum ist für das verwendete Anodenmaterial charakteristisch und lässt sich akkurat nur unter Betrachtung der quantenmechanischen Eigenschaften der Atome des Anodenmaterials verstehen.

Das einfallende Elektron schlägt aus einer inneren gefüllten Elektronenschale eines Atoms der Anode ein Elektron heraus. Durch den Übergang eines Elektrons aus einer weiter aussen liegenden Schale in das Loch der nun freien inneren Schale wird ein Photon mit einer chrakteristischen Energie $hν$ emittiert. In Abb. 3.15 entspricht die mit $K α$ bezeichnete Linie ( $λ = 0.71$ Å ) dem Übergang eines Elektrons der L-Schale in ein Loch in der K-Schale. Die mit $K β$ bezeichnete Linie ( $λ = 0.63$ Å ) dem Übergang eines Elektrons aus der M-Schale in ein Loch der K-Schale. Hierbei sind die K-, L- und M-Schalen durch die diskreten Bindungsenergien der Elektronen im Atom bestimmt. Um ein Loch in der K-Schale des Molybdäns zu erzeugen, muss die Energie des einfallenden Elektrons 20 kV übersteigen. Dies erklärt warum die Spektrallinien bei diesem Experiment erst für die höheren Beschleunigunsspannungen (30 und 50 kV) zu beobachten sind.

3.7 Zusammenfassung

Unter dem inversen Photoeffekt, auch Bremsstrahlung genannt, versteht man die Emission von elektromagnetischer Strahlung, welche durch die Abbremsung von Elektronen an einer Metalloberfläche entsteht.
Ein einfaches klassisches Modell ergibt sich, indem der zeitliche Verlauf $- ¨z(t)$ des Bremsvorgangs durch eine Glockenkurve angenommen wird. Wird zusätzlich die Absorption im Metall berücksichtigt, liefert dieses einfache Modell eine gute Näherung des Bremsspektrums, zumindest für den langwelligen Teil.
Der inverse Photoeffekt eignet sich sehr gut zur Erzeugung von Röntgen-Strahlung, d.h. elektromagnetische Strahlung mit Wellenlängen zwischen $- 8 10$ und $-12 10$ m. Röntgen-Strahlung findet breite Anwendung in der Medizin und in der Festkörperphysik.
Zur Erzeugung von Röntgen-Strahlung dienen Röntgen-Röhren: Freie Elektronen, erzeugt mittels thermoelektrischem Effekt, werden auf 1 - 100 keV beschleunigt und anschliessend abgebremst.
Zur Wellenlängenmessung dienen in der Festkörperphysik künstliche und natürliche Beugungsgitter. Welche Art von Gitter eingesetzt wird, hängt von der Wellenlänge $λ$ der zu untersuchenden Strahlung ab, die etwa in der Grössenordnung der Gitterkonstante $a$ liegen muss, da ansonsten keine Beugungsphänomene beobachtet werden können. Zur Untersuchung von Röntgen-Strahlung dienen deshalb natürliche Beugungsgitter. Bei einfach kubischen Gittern treten Interferenzmaxima unter den beiden Bragg-Bedingungen

auf. Bei bekannter Wellenlänge $λ$ lässt sich diese Methode umkehren und zur Bestimmung der Gitterkonstante $a$ von natürlichen Kristallen heranziehen.
Die quantenmechanische Interpretation ergibt sich aus der Betrachtung der Beschleunigungsspannung $U$ als Funktion der bei einer Röntgen-Röhre gemessenen Grenzfrequenz $νmax$ . Der Zusammenhang dieser beiden Grössen wird durch folgende Gleichung beschrieben

wobei die Austrittsarbeit $W$ gegenüber $eU$ vernachlässigt werden kann und die Steigung wie beim Photoeffekt durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ und die Elektronenladung $e$ bestimmt ist. Das bedeutet, dass die maximale Frequenz $νmax$ der elektromagnetischen Strahlung, die beim Abbremsen eines geladenen Teilchens der kinetischen Energie $Ekin$ entstehen kann, gegeben ist durch die Energie $hνmax = Ekin$ . Oder in anderen Worten: Das energiereichste Photon, das beim Abbremsen eines geladenen Teilchens der kinetischen Energie $Ekin$ entstehen kann, hat die Energie $hν = E max kin$ . Das Bremsstrahlungsexperiment zeigt also in Übereinstimmung mit dem Photoeffekt, dass die Energie eines Lichtquants $hν$ beträgt.