Kapitel 13
Der Spin des Elektrons

Wie in Abschnitt 12.4 angedeutet, ist in der Realität die Aufspaltung der Spektrallinien im homogenen externen Magnetfeld nicht alleine durch den normalen Zeeman-Effekt erklärbar. Es sind Aufspaltungen in vier, sechs oder mehr Linien beobachtbar, deren Abstand nicht durch den normalen Zeeman-Effekt erklärt werden können. Im Weiteren kann bereits ohne Anlegen eines externen Magnetfelds eine Aufspaltung diverser Spektrallinien in Doppellinien beobachtet werden. Auf diese sogenannte Feinstruktur und dessen Erklärung gehen wir in diesem und in den folgenden Kapiteln näher ein.

Wir befassen uns als erstes mit ein paar Experimenten, die auf das Auftreten einer Feinstruktur in atomaren Spektren hinweisen und die zur Hypothese des Elektronspins geführt haben. Anschliessend betrachten wir die Einbindung dieser neuen Grösse in den bisher kennengelernten Formalismus der Quantenmechanik und einer möglichen mathematischen Formulierung für den Elektronspin mittels den sogenannten Pauli-Matrizen.

In Kapitel 14 widmen wir uns dann der Wechselwirkung zwischen dem Elektronspin und dem Bahndrehimpuls des Elektrons, d.h. der sogenannten Spin-Bahn-Kopplung und damit der Erklärung der im Experiment beobachteten Feinstruktur. Im Weiteren befassen wir uns mit dem Einfluss eines externen Magnetfelds auf das Spektrum eines Atoms unter Einbezug des Elektronspins, d.h. dem sogenannten anomalen Zeeman-Effekt.

13.1 Experimentelle Beobachtungen

Eine experimentelle Beobachtung, die auf das Auftreten einer Feinstruktur in atomaren Spektren hinweist, ist zum Beispiel die ohne externen Felder beobachtete Aufspaltung der ersten Linie der Balmer-Serie (n = 3 → n = 2  ) des Wasserstoffatoms bei der Wellenlänge λ = 656.3  nm in eine Doppellinie mit Wellenlängenabstand Δ λ = 0.14  nm.

Diese Aufspaltung wird auch bei der gelben Linie der Natrium-Dampflampe beobachtet. Diese Linie entspricht dem Übergang 3p →  3s  und ist in der Spektroskopie unter dem Namen Natrium-D  -Linie bekannt. Das Experiment zeigt, dass sie aus zwei Linien besteht, D1   mit λ = 589.6  nm und D2   mit λ = 589.0  nm. Die Untersuchung der weiteren Übergänge np →  3s  zeigt auch lauter Doppellinien, deren Abstand mit steigender Hauptquantenzahl n  systematisch abnimmt. Aus dieser Systematik kann man schliessen, dass es die p  -Niveaus sind, die aufgespalten sind und nicht das 3s  -Niveau. Ganz allgemein findet man bei wasserstoffähnlichen Atomen, dass alle Niveaus, die Zuständen mit l ⁄= 0  entsprechen in zwei Niveaus aufgespalten sind.

Die beim Wasserstoffatom und der Natrium-Dampflampe beobachtete Aufspaltung einzelner Spektrallinien in Doppellinien ist ein Anzeichen dafür, dass die drei Quantenzahlen n  , l  und ml  , die den drei Freiheitsgraden eines Massepunkts entsprechen, nicht zur Beschreibung des Zustands eines Elektrons genügen. Es muss eine vierte Quantenzahl, die wir ms  nennen, eingeführt werden. Die Doppellinien deuten an, dass diese neue Quantenzahl ms  zwei Werte annehmen kann.

An dieser Stelle gerät man in Versuchung zu vermuten, dass die neue Quantenzahl damit zusammenhängen könnte, dass man das Elektron bisher als Massepunkt und nicht als einen Körper endlicher Ausdehnung aufgefasst hat. Jedoch würde dies zu drei weiteren Freiheitsgraden und damit drei zusätzlichen Quantenzahlen führen. Die Begründung der neuen Quantenzahl lieferten Samuel Abraham Goudsmit und George Eugene Uhlenbeck in einer von ihnen 1925 formulierten Hypothese:

Hypothese des Elektronspins

Das Elektron verhält sich als ob es einen Eigendrehimpuls hätte, dessen z-Komponente zwei diskrete Werte (charakterisiert durch die Quantenzahl ms  ) annehmen kann. Dieser Eigendrehimpuls wird Spin genannt und mit ⃗S  bezeichnet.

Bevor wir uns der Einbindung dieser neuen Grössen in den Formalismus der Quantenmechanik zuwenden, befassen wir uns mit einem Experiment, das einen weiteren Hinweis auf die Existenz des Elektronspins liefert.

13.1.1 Das Stern-Gerlach-Experiment

Otto Stern und Walther Gerlach führten im Jahr 1922 Experimente mit Atomstrahlen durch. Bei ihrem Experiment (siehe Abb. 13.1) erzeugten sie in einer hochevakuierten Apparatur einen Silber-Atomstrahl, indem sie aus einem kleinen Ofen durch ein Blendensystem hindurch Silber-Dampf austreten liessen.


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Abb. 13.1: Stern-Gerlach-Experiment: Ein aus einem Ofen durch ein Blendensystem austretender Silber-Atomstrahl wird durch ein starkes inhomogenes Magnetfeld geschickt und auf einer Glasplatte aufgefangen.


Dieser Atomstrahl wurde durch ein stark inhomogenes Magnetfeld (mit Bz ≫ Bx   , By   ) hindurchgeschickt und dann auf einer Glasplatte aufgefangen. Dabei wirkt auf ein Atom die folgende Kraft

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Bei ausgeschaltetem Magnetfeld läuft der Strahl, wie zu erwarten ist, geradeaus und es entsteht ein Silberfleck auf der Glasplatte, welcher der Blendengeometrie entspricht. Bei eingeschaltetem Magnetfeld würde man nach den bisherigen Erläuterungen zum Zeeman-Effekt (siehe Kapitel 12) eine Aufspaltung in eine ungerade Anzahl (genauer 2l + 1  ) von Strahlen und damit Flecken auf der Glasplatte erwarten. Die von Stern und Gerlach in ihrem Experiment verwendeten Silberatome bestehen aus mehreren gefüllten Elektronenschalen und einem Elektron, welches sich im 5s  -Zustand (l = 0  ) befindet. Der Gesamtdrehimpuls der Elektronen, der „gefüllten“ Schalen, verschwindet. Demzufolge können diese in unseren Betrachtungen vernachlässigt werden und wir können uns alleine auf das äusserste Elektron konzentrieren. Für dieses gilt l = 0  (5s  -Zustand) und demzufolge würde man keine Aufspaltung erwarten. Wäre das äusserste Elektron angeregt und befindet sich in einem 5p  -Zustand (l = 1  ), dann würde man als Folge des Zeeman-Effekts eine Aufspaltung in drei Strahlen (Flecken) erwarten.

Das Experiment zeigt jedoch eine Aufspaltung in zwei Strahlen (Flecken). Folglich muss das Elektron einen inneren Bahndrehimpuls (Spin) besitzen, dessen z-Komponente zwei diskrete Werte annehmen kann.

13.2 Einbindung in den Formalismus der Quantenmechanik

Bevor wir uns mit der Einbindung des Elektronspins in den Formalismus der Quantenmechanik befassen, versuchen wir eine klassische Motivation zu geben. Die Idee ist, den Spin (Eigendrehimpuls) und das entsprechende magnetische Moment durch die Rotation des Elektrons um eine feste Achse zu erklären. Schätzt man jedoch die Grösse des Elektrons mit re < 10-16   m ab, so müsste die Rotationsfrequenz, die benötigt wird, um den beobachteten Bahndrehimpuls und das magnetische Moment zu erklären, so hoch sein, dass die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator des Elektrons die Lichtgeschwindigkeit überschreiten würde. Folglich scheitert eine klassische Motivation und wir halten fest:

Es existiert keine klassische Erklärung für das Phänomen des Elektronspins.

Wir kommen zur quantenmechanischen Behandlung. Obwohl kein klassisches Pendant existiert, entsprechen die Eigenschaften des Elektronspins ⃗S  den Eigenschaften des Bahndrehimpulses ⃗
L  des Elektrons. Die Einbindung in den Formalismus der Quantenmechanik ergibt sich daher im Wesentlichen aus der Analogie zum Bahndrehimpuls ⃗
L  . Jedoch wird sich zeigen, dass die Analogie auch ihre Grenzen hat.

Der Spin des Elektrons wird durch die Quantenzahlen s = 1∕2  und m  = 1 ∕2
  s  charakterisiert. Wir sagen, das Elektron besitzt den Spin 1∕2  . Entsprechend gelten die folgenden Eigenwertgleichungen

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Der Zustand χ    (σ)
  +1∕2  wird als „spin up“ und der Zustand χ    (σ)
 - 1∕2  als „spin down“ bezeichnet.

Im Gegensatz zu den Quantenzahlen n  , l  und ml  , ist also s  unveränderlich1. Weiter ist der Übergang zu hohen Quantenzahlen nicht möglich, der Spin hat kein klassisches Analogon.

Bemerkung

Es sei bemerkt, dass das Elektron nicht das einzige Elementarteilchen ist, das einen Spin aufweist. Das Proton und das Neutron besitzen ebenfalls den Spin 1/2. Die entsprechenden magnetischen Momente μp   und μn   sind unterschiedlich, jedoch beide von der Grössenordnung des Kernmagnetons

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wobei mp   die Masse des Protons bezeichnet. Das Kernmagneton μK   ist 1836 mal kleiner als das Bohr-Magneton μB   . Interessant ist dabei vor allem auch die Tatsache, dass das Neutron, obwohl es keine Ladung besitzt ein magnetisches Moment aufweist.

Neben den Elementarteilchen besitzen auch einige Atomkerne einen Spin. Es existieren Kerne mit ganzzahligem (1, 2, 3, ...) und Kerne mit halbzahligem (1/2, 3/2, 5/2, ...) Spin. Alle Atomkerne mit Spin besitzen ein entsprechenden magnetisches Moment, das von der Grössenordnung von μK   ist. Dabei hängt das Verhältnis zwischen Spin und magnetischem Moment jeweils von der Kernsorte ab.

13.3 Die Pauli-Matrizen

Als nächstes lernen wir eine elegante mathematische Darstellung für den Elektronspin ⃗S kennen. Der Spin ist eine physikalische Observable und deshalb ist der entsprechende Operator ˆS
 z   hermitesch. Nach Satz 9.5 lässt sich demnach jede beliebige Spinfunktion χ(σ )  als Linearkombination der beiden orthogonalen (siehe Satz 9.3) und normierten Eigenfunktionen χ+1∕2(σ)  und χ-1∕2(σ)  schreiben

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wobei α+   , α - ∈ ℂ und aufgrund der Normierung

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In anderen Worten: Die Eigenfunktionen χ+1∕2(σ)  und χ-1∕2(σ)  bilden die Basis des zweidimensionalen Raums der Spinfunktionen χ(σ)  und wir können sie als zweidimensionale Spaltenvektoren schreiben

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Entsprechend lautet nach (13.20) die allgemeine Spinfunktion χ (σ )  in dieser Darstellung

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In dieser Darstellung entsprechen die Operatoren Sˆ
  x   , Sˆ
  y   und ˆS
 z   Matrizen. Es gilt

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wobei σ
 x   , σ
 y   und σ
  z   den sogenannten Pauli-Matrizen entsprechen und gegeben sind durch (für eine Herleitung der Pauli-Matrizen verweisen wir auf Anhang K)

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Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass wenn wir nicht die z-Achse ausgezeichnet hätten, sondern die x- oder y-Achse, dann wäre nicht ˆSz   , sondern entsprechend ˆSx   oder Sˆy diagonal. Der Spinoperator ˆ⃗S  lautet entsprechend

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und das Quadrat Sˆ⃗2   des Spinoperators

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13.3.1 Leiteroperatoren

Oft werden zusätzlich die sogenannten Leiteroperatoren  ˆ
S+   und ˆ
S- eingeführt, die, wie wir sehen werden, einen Zustandswechsel bewirken.

Definition 13.1 Die Leiteroperatoren ˆ
S+   und ˆ
S- sind definiert als

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In Matrixschreibweise ergeben sich mit (13.24) folgende Darstellungen

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Die Anwendung der Leiteroperatoren auf die beiden Zustände (1,0)  und (0,1)  ergibt somit

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Wir sehen, wie zu Beginn angedeutet, dass die Leiteroperatoren ˆS+   und Sˆ- einen Zustandswechsel bewirken. Genauer ausgedrückt, erhöht der Operator Sˆ+   die dem Zustand entsprechende Quantenzahl ms  um 1 und der Operator Sˆ- erniedrigt sie um 1. Entsprechend wird in Analogie zum quantenmechanischen harmonischen Oszillator (siehe Kapitel 10) ˆ
S+   Erzeugungsoperator und ˆ
S- Vernichtungsoperator genannt.

13.4 Zusammenfassung