In Abschnitt 10.2 haben wir eine algebraische Lösung der Differentialgleichung (10.7)
des harmonischen Oszillators kennengelernt. Wir zeigen hier nun eine alternative Lösung, die wie bereits in Abschnitt 10.2 angedeutet, auf einem Potenzreihenansatz aufbaut. Als erstes formen wir die Differentialgleichung um, indem wir ein paar neue Variablen einführen
Damit vereinfacht sich (E.1) zu
Für sehr grosse reduziert sich unsere Differentialgleichung auf die Form
Diese Gleichung wird näherungsweise durch die Funktion
gelöst. Denn es gilt für grosse
Aus diesem Grund wählen wir als Ansatz
Einsetzen in (E.5) liefert
Nun sind wir an der Stelle angelangt, wo der Potenzreihenansatz zum Zuge kommt. Wir setzen
Einsetzen in (E.10) ergibt
Damit die Summe verschwindet, müssen die Koeffizienten jeder Potenz verschwinden. Daher erhalten wir die folgende Bedingung
Damit ergibt sich zwischen den Koeffizienten die Rekursionsrelation
Für grosse ergibt sich somit das folgende Grenzverhalten
Wir vergleichen dieses Verhalten der Potenzreihe mit der Reihe
wobei nur über jedes zweite Glied summiert. In diesem Fall ergibt sich für
nachfolgende Koeffizienten das folgende Grenzverhalten
D.h. die Reihe würde wie
divergieren für
, wenn sie nicht
abbricht. Demzufolge würde
wie
divergieren für
und
wäre nicht normierbar und daher physikalisch nicht sinnvoll.
Demzufolge muss die Reihe
abbrechen. Nennen wir die höchste in der Reihe
auftretende Potenz
, so ergibt sich die Abbruchbedingung
und damit
aus (E.14)
Mit (E.4) ergeben sich damit in Übereinstimmung mit (10.43) die folgenden
diskreten Energiewerte für den harmonischen Oszillator
Die zu den Energiewerten zugehörigen Funktionen
und damit die
Wellenfunktionen
könnten mit Hilfe der Rekursionsrelation (E.14) bestimmt
werden. Setzen wir jedoch die Bedingung (E.18) in (E.5) ein, erhalten wir folgende
Differentialgleichung
welche mit der Differentialgleichung (I.2) der Hermite-Polynome
übereinstimmt. D.h. es gilt
und wir erhalten mit (E.9) und (E.3)
für die Wellenfunktion
des harmonischen Oszillators die folgende
Lösung
wobei eine noch zu bestimmende Normierungskonstante ist. Mit der
Orthogonalitätsrelation (I.7) ergibt sich die folgende Bedingung für
Daraus ergibt sich für die Normierungskonstante
Einsetzen in (E.21) liefert in Übereinstimmung mit (10.44) für die Wellenfunktion
des harmonischen Oszillators das folgende Schlussresultat