In Abschnitt 11.1 benützten wir den Laplace-Operator
in Kugelkoordinaten, d.h. in der Darstellung (siehe Gl. (11.7))
In diesem Abschnitt nehmen wir nun diese Umrechnung des Laplace-Operators von kartesischen zu Kugelkoordinaten vor. Dazu verwenden wir die folgenden Transformationsregeln
bzw. die Umkehrung
Wir gehen nun schrittweise vor, indem wir als erstes die erste Ableitung von
nach
, dann die zweite Ableitung von
nach
und
anschliessend die entsprechenden Ableitungen für
und
bestimmen.
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach
ergibt sich mit (F.12)
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach
ergibt sich mit (F.18)
Mit
erhalten wir
Für die zweite Ableitung von nach
ergibt sich mit (F.24)
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten entspricht nun der Summe der
Ausdrücke (F.13), (F.19) und (F.25). D.h. es gilt
Um die Formelschlacht ein bisschen übersichtlicher zu gestalten, verzichten wir auf
das direkte Einsetzen und vereinfachen in der Summe (F.13) + (F.19) + (F.25) die
Ausdrücke, welche nur die zweite Ableitung nach ,
oder
enthalten,
Ausdrücke, welche nur die erste Ableitung nach
,
oder
enthalten oder
Ausdrücke, welche nur eine gemischte Ableitung nach
und
,
und
oder
und
enthalten, separat:
Mit den Vereinfachungen i) - ix) ergibt sich für die Summe (F.13) + (F.19)
+ (F.25), d.h. für den Laplace-Operator (F.26) in Kugelkoordinaten das
folgende Resultat
Dieser Ausdruck stimmt mit (F.1) überein, womit die Richtigkeit von (F.1) gezeigt ist.