Wie in Kapitel 13 angedeutet, befassen wir uns in diesem Kapitel mit der
Wechselwirkung zwischen dem Elektronspin und dem Bahndrehimpuls des Elektrons.
Diese Wechselwirkung wird Spin-Bahn-Kopplung genannt und liefert die
Erklärung der im Experiment beobachteten Feinstruktur. D.h. sie erklärt
z.B. die Aufspaltung der ersten Linie der Balmer-Serie ()
des Wasserstoffatoms oder die Aufspaltung der Natrium-D-Linie in zwei
Linien.
Wir beginnen mit einer klassischen Beschreibung und geben eine Abschätz-ung der Grössenordnung der Spin-Bahn-Kopplung an. Anschliessend erfolgt ein kurzer Abriss der quantenmechanischen Behandlung und zum Abschluss des Kapitels befassen wir uns mit dem Einfluss eines externen Magnetfelds auf das Energiediagramm eines Atoms unter Einbezug des Elektronspins, d.h. dem sogenannten anomalen Zeeman-Effekt.
Wir zeigen in einem semiklassischen Modell wie man die Aufspaltung der
Energieniveaus mit Bahndrehimpulsquantenzahl bei Einelektronenatomen und
damit insbesondere beim Wasserstoffatom, mit der Hilfe der Hypothese des
Elektronspins erklären kann. Dazu betrachten wir eine Momentaufnahme eines
Atoms mit einem Elektron, das den Kern der Ladung
umkreist einerseits aus
der Sicht eines Beobachters im Ruhesystem des Kerns (siehe Abb. 14.1(a)) und
andererseits aus der Sicht eines Beobachters im Ruhesystem des Elektrons (siehe
Abb. 14.1(b)). In diesem rotierenden Bezugssystem des Elektrons erzeugt die
Bahnbewegung des positiv geladenen Kerns ein Magnetfeld
. Dieses wechselwirkt
mit dem magnetischen Moment
des Elektronspins und daher erhält das
Elektron die zusätzliche potentielle Energie
, welche nach Abschnitt 13.2
gegeben ist durch
D.h. jeder elektronische Zustand in einem Einelektronensystem mit nichtverschwindendem Bahndrehimpuls spaltet aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung in zwei Zustände mit unterschiedlicher Energie auf. Auf die Begründung und die Bestimmung des Magnetfelds, welches ein Beobachter im Ruhesystem des Elektrons wahrnimmt und die daraus resultierende Aufspaltung der Energieniveaus gehen wir nun etwas genauer ein.
Im Ruhesystem xyz des Kerns (siehe Abb. 14.1(c)) befinde sich das Elektron im
betrachteten Augenblick im Ursprung. Einfachheitshalber nehmen wir an, dass die
Geschwindigkeit des Elektrons in diesem Moment entlang der x-Achse gerichtet sei.
Ein in diesem System xyz ruhender Beobachter sagt dann, dass der Kern ein
elektrisches Feld erzeugt, das im Ursprung parallel zur y-Achse gerichtet ist und den
Betrag hat, wobei
der Abstand zwischen Kern und Elektron
ist. In dieser Betrachtung vernachlässigen wir das (kleine) magnetische Moment des
Kerns und deshalb nimmt der Beobachter im Ruhesystem des Kerns kein Magnetfeld
wahr.
Wir wechseln nun zu einem Beobachter im Ruhesystem xy
z
des Elektrons
(siehe Abb. 14.1(d)) und fragen uns, welche elektromagnetischen Felder
dieser wahrnimmt. Die Anwendung der Transformationsformeln der speziellen
Relativitätstheorie ergeben für die Komponenten des Magnetfelds
,
und
, welches der Beobachter im Ruhesystem x
y
z
des Elektrons
feststellt
wobei und wir im letzten Schritt die Näherung
getroffen haben.
Der Beobachter im Ruhesystem x
y
z
des Elektrons stellt also ein Feld
fest,
das senkrecht steht auf
und
. Allgemein können wir
dies durch ein Vektorprodukt ausdrücken. Es gilt
wobei wir die Geschwindigkeit durch den Impuls
ausgedrückt haben. Das
elektrische Feld
im System x
y
z
ist in der Näherung
identisch
mit dem elektrischen Feld
im System xyz, denn es gilt
Das Magnetfeld , welches das Elektron aufgrund seiner Relativbewegung zum
Kern wahrnimmt, hat zur Folge, dass das Elektron in den beiden Spinzuständen, die
durch die Quantenzahl
charakterisiert sind, verschiedene Energie hat.
Die Aufspaltung
ist nach (13.17) gegeben durch
Mit (14.5), und
erhalten wir
Dieser Ausdruck ist nicht ganz korrekt, da wir angenommen haben, dass sich das
Elektron geradlinig bewege. Da das Elektron aufgrund des Spins einen kleinen Kreisel
darstellt, spielt es eine Rolle, ob es geradeaus läuft oder den Atomkern umkreist, wie
von Llewellyn Thomas um 1926 gezeigt wurde. Die Berücksichtigung dieser
sogenannten Thomas-Präzession reduziert die Aufspaltung um einen Faktor
zwei1. Demzufolge lautet
die korrekte Formel2
Die Energiedifferenz wird Spin-Bahn-Aufspaltung genannt, weshalb
wir den Index SB hinzugefügt haben. Den oberen Index s haben wir durch
den oberen Index semi ersetzt, der andeuten soll, dass unsere Herleitung
semiklassisch erfolgte. Diese Spin-Bahn-Aufspaltung erklärt insbesondere die
Aufspaltung der Spektrallinien beim Wasserstoffatom und die Aufspaltung der
Natrium-D-Linie.
Ausgehend von der Formel (14.5) für die Spin-Bahn-Aufspaltung schätzen
wir die Grössenordnung der Spin-Bahn-Kopplung auf der Grundlage des Bohrschen
Atommodells (siehe Kapitel 8) für ein Einelektronenatom ab. D.h. wir nehmen an,
dass das Elektron den Kern (Ladung
) auf einer Kreisbahn mit Radius
(8.27) umkreist und einen Bahndrehimpuls
(11.47)
besitzt. Damit ergibt sich für die Spin-Bahn-Aufspaltung
die folgende
Abschätzung
Einsetzen von und
ergibt
wobei wir verwendet haben, dass , die Feinstrukturkonstante
(siehe Gl. (8.50)) und die Rydberg-Energie
eV (siehe Abschnitt
11.2.3). Da man die Spin-Bahn-Aufspaltung Feinstruktur nennt, ergibt sich in
diesem Zusammenhang die Begründung des Namen Feinstrukturkonstante für
.
Die bisherigen Betrachtungen beruhen im Wesentlichen auf dem Bohrschen
Atommodell. Jedoch ist dieses Modell und daher auch die Ausführungen in
Abschnitt 14.1 zur Spin-Bahn-Kopplung nur begrenzt gültig (siehe Abschnitt 8.6).
Abhilfe schafft nur die rein quantenmechanische Beschreibung, auf die wir nun
in diesem Abschnitt eingehen werden. Wir beschränken uns dabei auf die
Behandlung des Wasserstoffatoms (Einelektronenatom mit Kernladungszahl
).
Zur Bestimmung des Hamilton-Operators der Spin-Bahn-Kopplung des
Wasserstoffatoms stellen wir als erstes die entsprechende Hamilton-Funktion
auf. Sie ist gegeben durch die Energie des magnetischen Moments (in Analogie zu
Gl. (12.8))
des Elektronspins im Magnetfeld (siehe Gl. (14.5))
welches das Elektron in seinem Ruhesystem wahrnimmt. Damit ergibt sich mit
,
und
für die Hamilton-Funktion
den
folgenden Ausdruck
wobei Vs/(Am) die magnetische Feldkonstante ist. Analog
zu Abschnitt 14.1 reduziert die Berücksichtigung der Thomas-Präzession diesen
Ausdruck um zwei und wir erhalten für den Hamilton-Operator
der
Spin-Bahn-Kopplung
Damit ergibt sich für den Hamilton-Operator des Wasserstoffatoms unter
Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung
wobei wir den Hamilton-Operator ohne Spin-Bahn-Kopplung mit bezeichnet
haben.
Ein Elektron mit Spin wird durch die Ortsvariablen ,
und
, sowie
die klassisch nicht deutbare, abstrakte Spinvariable
beschrieben (siehe
Kapitel 13). Diese kann nur zwei verschiedene Werte annehmen, die wir mit
„
“ und „
“ bezeichnen. Diese Eigenschaft widerspiegelt sich auch in den
Eigenwerten des Operators
, welche gegeben sind durch
und
.
Wie zu den Ortsvariablen ,
und
die Ortswellenfunktion
gehört,
ist der Spinvariablen
die abstrakte Spinwellenfunktion
zugeordnet. Es stellt
sich nun die Frage, wie diese beiden bisher unabhängig voneinander betrachteten
Systeme (Ort und Spin) kombiniert werden können. Oder in anderen Worten: Das
Ziel ist, dass wir den Zustand eines Elektrons, welches durch die Variablen
,
,
und
beschrieben wird, durch eine Gesamtwellenfunktion
charakterisieren können, die die Spinvariable
enthält und folgendermassen zu
deuten ist:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass man ein
Elektron zur Zeit
im Volumenelement
am Ort (
) mit dem Wert
der Spinvariablen antrifft. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass man das
Elektron zur Zeit
im besagten Volumenelement antrifft entweder mit dem Wert
„
“ oder „
“ der Spinvariablen gegeben durch
Dieser Ausdruck erfüllt die Normierungsbedingung, d.h. das Integral über den gesamten Ortsraum ergibt 1.
Im Zusammenhang mit der Verknüpfung der Spinvariablen mit der
Ortswellenfunktion
ergeben sich wie zum Teil schon angedeutet die
folgenden Fragen:
Wir werden hier auf diese Fragen eingehen. Wie in Kapitel 11 wechseln wir dazu von
den kartesischen Ortskoordinaten ,
und
zu den Kugelkoordinaten
,
und
, d.h. das Elektron des Wasserstoffatoms wird durch die Ortskoordinaten
,
und
und die Spinvariable
charakterisiert.
Wir vernachlässigen in einem ersten Schritt die Spin-Bahn-Kopplung und werden sie
erst in den nächsten Abschnitten wieder in unsere Betrachtungen einbinden. Damit
ist die Frage 1 beantwortet, da in diesem Fall die Spinvariable von den
Ortsvariablen
,
und
unabhängig ist. Wir kommen nun zu den Fragen 2 und
3.
Wie erwähnt ist unser Ziel, die Wellenfunktion als Funktion
der Ortswellenfunktion
und der Spinwellenfunktion
des
Wasserstoffatoms auszudrücken. Die Frage, die sich nun stellt, ist nach welchen
Kriterien wir dabei vorgehen müssen. Dabei wird sich die Tatsache, dass bei
vernachlässigter Spin-Bahn-Kopplung die beiden Spinoperatoren
und
einzeln mit den Ortsoperatoren
,
und
kommutieren, als entscheidend
erweisen.
Zur Festlegung eines Kriteriums betrachten wir das Ort- und Spinsystem nochmals einzeln und untersuchen, durch was ein Zustand im jeweiligen System eindeutig bestimmt ist. Im Ortssystem gibt es verschiedene Möglichkeiten einen Zustand eindeutig festzulegen:
Analog ergeben sich für das Spinsystem die folgenden Möglichkeiten einen Zustand eindeutig festzulegen:
Daraus wird ersichtlich, dass die den Zustand beschreibende Wellenfunktion
Eigenfunktion eines vollständigen Satzes kommutierender Operatoren ist. Wir haben
nun also ein Kriterium gefunden, mit dem wir die Gesamtwellenfunktion
in Verbindung mit der Ortswellenfunktion
und der Spinwellenfunktion
bringen können.
Der naheliegendste Ansatz für einen vollständigen Satz kommutierender
Operatoren für das Gesamtsystem (Ort und Spin) ist, den vollständigen Satz der
kommutierenden Operatoren des Ortssystems ,
und
mit dem des
Spinsystems
und
zusammenzufügen. Tatsächlich ist dies bei vernachlässigter
Spin-Bahn-Kopplung der richtige Ansatz, da in diesem Fall das Ort- und Spinsystem
zwei unabhängige Systeme darstellen und daher die Spinoperatoren
und
einzeln mit den Ortsoperatoren
,
und
kommutieren. Folglich ist die
Gesamtwellenfunktion
so durch die Ortswellenfunktion
und Spinwellenfunktion
auszudrücken, dass diese
gleichzeitig Eigenfunktion der Operatoren
,
,
,
und
ist.
Aufgrund der Unabhängigkeit von Ort- und Spinsystem ist nun auch dieser letzte
Schritt einfach. Wir werden zeigen, dass sich sich die Gesamtwellenfunktion
als Produkt von Ortswellenfunktion
und
Spinwellenfunktion
schreiben lässt, d.h. dass
Wir überprüfen die Richtigkeit dieser Darstellung, indem wir die Operatoren ,
,
,
und
auf die durch (14.20) definierte Funktion
anwenden:
Aufgrund der vernachlässigten Spin-Bahn-Kopplung ist der Hamilton-Operator
nach (11.6) gegeben durch
und hängt folglich nicht von der Spinvariable , sondern nur von den
Ortsvariablen
,
und
ab. Daher wirkt
nur auf den ortsabhängigen
Teil
der Wellenfunktion
, d.h. wir
erhalten mit (11.85)
Analog erhalten wir mit (11.93)
Analog erhalten wir mit (11.94)
Analog erhalten wir mit (13.11)
Analog erhalten wir mit (13.10)
Somit ist die Richtigkeit der Darstellung (14.20) der Gesamtwellenfunktion
gezeigt: Die Gesamtwellenfunktion
ist
das Produkt aus Ortswellenfunktion
und Spinwellenfunktion
. Dies ist die Antwort auf die Frage 2. Diese Begründung der
Gesamtwellenfunktion zeigt zudem, dass Erwartungswerte, Eigenwerte und
Eigenfunktionen von Operatoren für das Gesamtsystem Ort und Spin sich aufgrund
der Tatsache berechnen lassen, dass Spinoperatoren nur auf die Spinwellenfunktion
wirken und die Ortsoperatoren nur auf die Ortswellenfunktion
.
Es wird sich im Hinblick auf die quantenmechanische Behandlung der
Spin-Bahn-Kopplung (siehe Abschnitt 14.2.4) und die Betrachtung von
Mehrelektronenatomen (siehe Kapitel 16) als hilfreich erweisen, den Gesamtdrehimpuls
einzuführen:
Definition 14.1 Der Gesamtdrehimpuls eines Einelektronensystems ist
definiert als Summe von Bahndrehimpuls
und Spin
Der entsprechende Gesamtdrehimpulsoperator ergibt sich analog zu
Die im letzten Abschnitt 14.2.2 kennengelernten Produktwellenfunktionen
sind zwar auch Eigenfunktionen der
z-Komponente des Gesamtdrehimpulsoperators
zum Eigenwert
, jedoch nicht vom Quadrat des Gesamtdrehimpulsoperators
,
da
Jedoch ist es für die zu Beginn erwähnten Fragestellungen von Vorteil mit Zuständen
zu rechnen, die auch Eigenfunktion von sind. Wir wechseln daher vom bisherigen
vollständigen Satz kommutierender Operatoren
,
,
,
und
zum
neuen ebenfalls vollständigen Satz kommutierender Operatoren
,
,
,
und
und suchen die entsprechenden Eigenfunktionen
mit
den Eigenwerten
,
,
,
und
. D.h. unsere
Aufgaben sind:
Wir verzichten hier auf eine ausführliche Herleitung und geben direkt die Lösung für das Wasserstoffatom an3:
dabei haben wir für eine bessere Übersichtlichkeit auf das Aufführen der
unabhängigen Variablen ,
,
,
und
verzichtet.
Wir betrachten als Beispiel den -Zustand, d.h.
und
. Die
Quantenzahl
kann dann die beiden Werte
und
annehmen. Die entsprechenden Eigenfunktionen
sind in Tab. 14.1
dargestellt und Abb. 14.2 zeigt die graphische Darstellung der entsprechenden
Gesamtdrehimpulsvektoren im Bezug zur z-Achse.
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Bevor wir auf die rein quantenmechanische Behandlung eingehen werden, befassen wir uns mit einem weiteren semiklassischen Modell der Spin-Bahn-Kopplung.
Als erstes drücken wir den Hamilton-Operator , welcher die Spin-Bahn-Kopplung
beschreibt, durch den Gesamtdrehimpulsoperator
aus und zeigen, dass die
Wellenfunktionen
Eigenfunktionen von
sind. Da die Operatoren
und
kommutieren, gilt
und damit
Einsetzen in (14.17) liefert
und damit
Damit sind die Eigenfunktionen Eigenfunktionen des Hamilton-Opera-tors
mit den Eigenwerten
wobei die Spin-Bahn-Kopplungskonstante gegeben ist durch
Indem wir den klassischen Bahnradius stehengelassen und in die
Spin-Bahn-Kopplungskonstante
integriert haben, sind wir an dieser Stelle von
der rein quantenmechanischen Behandlung abgekommen und zu einer semiklassischen
Betrachtung übergegangen.
Die Wellenfunktionen sind Eigenfunktionen des Hamilton-Opera-tors
zum Eigenwert
. Mit (14.37) ergibt sich somit für die
Eigenwerte des Gesamt-Hamilton-Operators
und damit für
die Energiewerte
des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der
Spin-Bahn-Kopplung
wobei wir für die Energiewerte neu die Indizes und
eingeführt haben. Wir
werden als nächstes diese semiklassische Betrachtung fortsetzen und die daraus
abgeleiteten Konsequenzen für das Energiediagramm des Wasserstoffatoms
betrachten.
Die Energiewerte des Wasserstoffatom hängen neu zusätzlich von den
Quantenzahlen
und
ab. Für feste Quantenzahlen
und
ergibt sich mit
Ausnahme für die
-Zustände (
) damit eine Aufspaltung in zwei Energiewerte
und
. Die Energiedifferenz
dieser beiden Zustände
ist gegeben durch
Wir führen nun eine neue in der Literatur übliche Symbolik für die Benennung der Zustände ein:
Ein Zustand mit Hauptquantenzahl , Bahndrehimpulsquantenzahl
,
Spinquantenzahl
und Gesamtdrehimpulsquantenzahl
erhält folgende
Bezeichnung
wobei für jeweils der entsprechende Buchstabe
,
, ...
einzusetzen ist.
In Tab. 14.2 sind die Zustände und die entsprechenden Energiewerte
des Wasserstoffatoms (
) für die Hauptquantenzahlen
= 1, 2 und
3 zusammengestellt. Das entsprechende Energiediagramm (siehe Abb. 14.3) lässt die
Spin-Bahn-Kopplung-Aufspaltung für Zustände mit Bahndrehimpulsquantenzahl
erkennen.
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Da wir die wesentlichen Merkmale der Spin-Bahn-Kopplung und deren Auswirkungen auf das Energiediagramm des Wasserstoffatoms bereits mit unserem semiklassischen Modell beschreiben konnten, werden wir nur einen kurzen Überblick über die wesentlichen Schritte und Resultate der quantenmechanischen Berechnung geben und für genauere Ausführungen auf weiterführende Literatur [11] verweisen.
Die rein quantenmechanische Behandlung erfolgt innerhalb der
Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie indem man vom Hamilton-Operator ausgeht
und den Hamilton-Operator
der Spin-Bahn-Kopplung als Störung einführt. Die
Energieverschiebung
in 1. Ordnung ist dabei durch den Erwartungswert
gegeben4.
Mit (14.17) und
erhalten wir
Wir verzichten auf die Berechnung des Erwartungswerts und geben
hier nur das Resultat wider. Es ergibt sich
Einsetzen in (14.42) liefert
Es sei bemerkt, dass dieser Ausdruck für divergiert und daher nur
für
gilt. Für
verschwindet
. Damit ergeben sich unter
Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung die folgenden Energiewerte
für das
Wasserstoffatom
Wir haben bisher davon gesprochen, dass die Spin-Bahn-Kopplung für die
Fein-struktur verantwortlich ist. Um genau zu sein, ist dies nicht ganz korrekt, da
neben der Energiekorrektur , bewirkt durch die Spin-Bahn-Kopplung, noch
zwei weitere Korrekturterme existieren. Alle drei Korrekturen werden unter
dem Namen relativistische Korrekturen zusammengefasst und bewirken die
Feinstrukturaufspaltung. Wir geben als nächstes eine kurze Auflistung der beiden
zusätzlichen Korrekturterme an und gehen dann auf die Gesamtlösung für die
relativistisch korrigierten Energiewerte des Wasserstoffatoms ein.
Bisher haben wir das Elektron als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet.
Entwickelt man jedoch den relativistischen Ausdruck für die Energie für
kleine Werte von
ergibt sich
Terme höherer Ordnung können vernachlässigt werden, wenn ,
d.h.
, was beim Wasserstoffatom für kleine Werte der magnetischen
Quantenzahl
gegeben ist. Damit ergibt sich zum Hamilton-Operator
als Störung der relativistische Hamilton-Operator
Die entsprechende Energiewertkorrektur 1. Ordnung ist gegeben durch
Das Elektron des Wasserstoffatoms ist nicht genau lokalisiert sondern schwankt
bzgl. seiner Position im Bereich von . Diese „Zitterbewegung“ wird
durch den zusätzlichen Hamilton-Operator
berücksichtigt, welcher
gegeben ist durch
wobei den Diracschen Deltaoperator in drei Dimensionen bezeichnet.
Damit ergibt sich in 1. Ordnung der folgende Korrekturterm
D.h. der Darwin-Term liefert nur einen Beitrag für .
Die drei Korrekturen ,
und
führen zusammen zu folgendem
Ausdruck für die Energiewerte
des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung
relativistischer Korrekturen
D.h. die Energiewerte des Wasserstoffatoms hängen nur von den
Quantenzahlen
und
, aber nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl
ab5.
Die Berücksichtigung aller drei relativistischen Korrekturen liefert also eine Korrektur
gegenüber dem Ausdruck (14.45) für die Energiewerte
des Wasserstoffatoms
unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung. Die korrigierten Energiewerte
zu den Zuständen
des Wasserstoffatoms für die Hauptquantenzahlen
=
1, 2 und 3 sind in Tab. 14.3 zusammengestellt. Das entsprechende Energiediagramm
(siehe Abb. 14.4) gibt die Feinstrukturaufspaltung beim Wasserstoffatom wieder.
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Neben diesen relativistischen Korrekturen, welche für die Feinstrukturaufspaltung des Wasserstoffatoms verantwortlich sind, ergeben sich noch weitere Korrekturen, wenn man noch zusätzlich den Kern-Spin berücksichtigt. Diese Korrekturen bestimmen die sogenannte Hyperfeinstruktur.
In Kapitel 12 haben wir den sogenannten normalen Zeeman-Effekt besprochen,
d.h. den Effekt eines homogenen externen Magnetfelds auf die Energieniveaus und
damit das Spektrum des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung des Elektronspins.
Wir berücksichtigen nun den Elektronspin, d.h. wir betrachten den Effekt eines
homogenen externen Magnetfelds auf die Energieniveaus
(siehe
Gl. (14.51)) des Wasserstoffatoms.
Der Gesamt-Hamilton-Operator setzt sich nun aus
den drei relativistischen
Korrekturen
,
und
, sowie dem Zeeman-Term
zusammen. Mit
, (13.16) und (13.18) ist
gegeben durch
wobei wir angenommen haben, dass . Wir beschränken uns hier auf den Fall
kleiner Magnetfelder, d.h.
T. In diesem Fall können wir den Zeeman-Term
als Störung gegenüber dem Hamilton-Operator
betrachten und die durch das homogene externe Magnetfeld
bewirkte
Energieverschiebung
mittels Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie
berechnen. Dann ist
gegeben durch den Erwartungswert
des
Zeeman-Terms6
und wir erhalten mit (14.52)
Wir verzichten hier auf die Berechnung des Erwartungswerts und geben
direkt das Resultat für
an
Für genaue Ausführungen verweisen wir auf weiterführende Literatur [11]. Einsetzen in (14.53) liefert
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Wir fassen zusammen:
Für die Energiewerte des Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung
relativistischer Korrekturen im homogenen externen Magnetfeld
ergibt sich das
folgende Schlussresultat
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Abb. 14.5 zeigt die durch den anomalen Zeeman-Effekt bewirkte Aufspaltung der
Zustände ,
und
des Wasserstoffatoms.
Das Modell zeigt damit in Übereinstimmung mit dem Experiment, dass die
Spin-Bahn-Aufspaltung mit steigender Kernladungszahl zunimmt und für
den Wert null für die Bahndrehimpulsquantenzahl
verschwindet. Zudem
liefert es die Grössenordnung für die Spin-Bahn-Aufspaltung. Für den
-Zustand des Wasserstoffatoms erhalten wir zum Beispiel einen Wert von
der Grössenordnung
eV.
D.h. für feste Quantenzahlen und
ergibt sich mit Ausnahme für die
-Zustände (
) eine Aufspaltung in zwei Energiewerte.
D.h. die Energiewerte des Wasserstoffatoms hängen nur von den
Quantenzahlen
und
, aber nicht von der Bahndrehimpulsquantenzahl
ab. Diese Aussage gilt nur für das Wasserstoffatom bzw. für
Einelektronenatome und nicht für Mehrelektronenatome. Dort haben Zustände
mit verschiedenen Werten für
aber gleichem
und
unterschiedliche
Energien.
wobei der Landé-Faktor gegeben ist durch
Das bedeutet, dass durch ein homogenes externes Magnetfeld die
durch die Quantenzahl
bewirkte Entartung der Energiewerte
aufgehoben wird. Dieser Effekt wird anomaler Zeeman-Effekt
genannt.